Exercício 1 (2,5 pontos) Seja a função f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por:
f(x, y, z)=(3 y-5 x,-z+2 x)
Mostre que é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad f(x,y,z) = \bigl(3y - 5x,\,-z + 2x\bigr).
Para mostrar que f é transformação linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \lambda\in\mathbb{R}:
  1. f(u+v)=f(u)+f(v) (aditividade).
  2. f(\lambda u)=\lambda\,f(u) (homogeneidade).

Passo 2

Dada u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2), temos
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Logo,
f(u+v) =\bigl(3(y_1+y_2)-5(x_1+x_2),\,-(z_1+z_2)+2(x_1+x_2)\bigr)
=\bigl((3y_1-5x_1)+(3y_2-5x_2),\;(-z_1+2x_1)+(-z_2+2x_2)\bigr) =f(u)+f(v).

Passo 3

Para \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z),
\lambda u = (\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z),
então
f(\lambda u) =\bigl(3(\lambda y)-5(\lambda x),\;-(\lambda z)+2(\lambda x)\bigr) =\bigl(\lambda(3y-5x),\;\lambda(-z+2x)\bigr) =\lambda\,f(x,y,z).

Resposta

A função f satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é transformação linear.

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