Considere o sistema de equações lineares:
x+4 y+3 z=10
2 x+7 y-2 z=10
x+5 y+\alpha z=\beta
Para quais valores de \alpha e \beta o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível?

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações lineares em três incógnitas x,y,z com parâmetros \alpha e \beta. O objetivo é classificar o sistema como (i) possível e determinado, (ii) possível e indeterminado ou (iii) impossível. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para ver quando ela é invertível e, no caso singular, verificar a compatibilidade usando combinação linear.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 2 & 7 & -2\\\\ 1 & 5 & \alpha \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det A = 1\cdot\begin{vmatrix}7 & -2\\\ 5 & \alpha\end{vmatrix} -4\cdot\begin{vmatrix}2 & -2\\\ 1 & \alpha\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}2 & 7\\\ 1 & 5\end{vmatrix} =11-\alpha.

Passo 3

Se \alpha\neq11, então \det A\neq0 e a matriz é invertível. Logo, o sistema é possível e determinado para qualquer valor de \beta.

Passo 4

Se \alpha=11, então \det A=0 e a matriz é singular. Passamos a analisar a compatibilidade das três equações. As duas primeiras são
\begin{cases} x+4y+3z=10,\\\\ 2x+7y-2z=10. \end{cases}
Como o posto das equações 1 e 2 é 2, o sistema completo terá solução se a 3ª equação for combinação linear dessas duas.

Passo 5

Buscamos escalares \lambda,\mu\) tais que \[\lambda\,(x+4y+3z)+\mu\,(2x+7y-2z) = x+5y+11z.
Isso leva ao sistema em \lambda,\mu:
\begin{cases} \lambda+2\mu=1,\\\\ 4\lambda+7\mu=5,\\\\ 3\lambda-2\mu=11. \end{cases}
Resolvendo, achamos \lambda=3\] e \(\mu=-1, que satisfazem as três igualdades. Para a parte numérica, a combinação dá
3\cdot10 +(-1)\cdot10 = 20,
logo a 3ª equação só é compatível se \beta=20.

Passo 6

Conclusão do caso \alpha=11:
  • Se \beta=20, o vetor de termos independentes está no espaço gerado pelas duas primeiras equações, e o sistema tem infinitas soluções (possível e indeterminado).
  • Se \beta\neq20, a 3ª equação contraria a combinação linear, gerando inconsistência (sistema impossível).

Resposta

Para \alpha\neq11: possível e determinado (única solução) para todo \beta.
Para \alpha=11 e \beta=20: possível e indeterminado (infinitas soluções).
Para \alpha=11 e \beta\neq20: impossível (sem solução).

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