x+5 y+\alpha z=\beta
Para quais valores de \alpha e \beta o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível?
Passo 1
O enunciado dá o sistema de três equações lineares em três incógnitas x,y,z com parâmetros \alpha e \beta. O objetivo é classificar o sistema como (i) possível e determinado, (ii) possível e indeterminado ou (iii) impossível. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para ver quando ela é invertível e, no caso singular, verificar a compatibilidade usando combinação linear.
Resolvendo, achamos \lambda=3\] e \(\mu=-1, que satisfazem as três igualdades. Para a parte numérica, a combinação dá
3\cdot10 +(-1)\cdot10 = 20,
logo a 3ª equação só é compatível se \beta=20.
Passo 6
Conclusão do caso \alpha=11:
Se \beta=20, o vetor de termos independentes está no espaço gerado pelas duas primeiras equações, e o sistema tem infinitas soluções (possível e indeterminado).
Se \beta\neq20, a 3ª equação contraria a combinação linear, gerando inconsistência (sistema impossível).
Resposta
Para \alpha\neq11: possível e determinado (única solução) para todo \beta.
Para \alpha=11 e \beta=20: possível e indeterminado (infinitas soluções).
Para \alpha=11 e \beta\neq20: impossível (sem solução).