(integral com módulo)
\int_{1 / 2}^{2}|\log s| d s;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1/2}^{2} \lvert \log s\rvert \,ds.
O conteúdo envolve integrar uma função com valor absoluto, que se resolve quebrando a integral no ponto onde \log s=0, isto é, em s=1. Também usaremos a primitiva
\int \log s\,ds = s\log s - s.

Passo 2

Para s\in[1/2,1] temos \log s\le0, logo \lvert \log s\rvert = -\log s. Assim
\int_{1/2}^{1} \lvert \log s\rvert \,ds = \int_{1/2}^{1} -\log s\,ds.

Passo 3

Uma primitiva de -\log s é
-\bigl(s\log s - s\bigr) = -s\log s + s.
Avaliando de s=\tfrac12 até s=1
\bigl[-s\log s + s\bigr]_{1/2}^{1} = \bigl(-1\cdot0 + 1\bigr) - \bigl(-\tfrac12\ln 2 + \tfrac12\bigr) = 1 - \Bigl(\tfrac12\ln2 + \tfrac12\Bigr) = \tfrac12 - \tfrac12\ln2.

Passo 4

Para s\in[1,2] temos \log s\ge0, logo \lvert \log s\rvert = \log s. Desta forma
\int_{1}^{2} \lvert \log s\rvert \,ds = \int_{1}^{2} \log s\,ds.
Usando a primitiva s\log s - s e avaliando de 1 a 2, obtemos
\bigl[s\log s - s\bigr]_{1}^{2} = (2\ln2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln2 - 1.

Passo 5

Somando as duas partes:
\Bigl(\tfrac12 - \tfrac12\ln2\Bigr) + \bigl(2\ln2 - 1\bigr) = -\tfrac12 + \tfrac32\ln2 = \frac{3\ln2 - 1}{2}.

Resposta

\frac{3\ln2 - 1}{2}

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