O valor da expressão: \frac{4}{7} \cdot(a+b+c+d+e) é igual a
(A) 20 .
(B) 16 .
(C) 8 .
(D) 12 .
(E) 24 .
Passo 1
O enunciado dá o sistema de cinco equações lineares com cinco incógnitas e pede o valor da expressão \dfrac{4}{7}\cdot(a+b+c+d+e)\). As informações dadas são:
\[\begin{cases} a+b=10\\[4pt] c+d=6\\[4pt] e+a=8\\[4pt] b+c=11\\[4pt] d+e=7 \end{cases}
A pergunta é: qual é o valor de \dfrac{4}{7}\cdot(a+b+c+d+e)\]? (há opções múltipla escolha: \((A)\\\ 20,\\ (B)\\\ 16,\\ \text{(C)}\\\ 8,\\ (D)\\\ 12,\\ (E)\\\ 24).]
Passo 2
Ideia útil (explicação didática): quando temos várias equações lineares podemos somá-las membro a membro. Isso produz uma nova equação que é uma combinação linear das originais. Aqui cada incógnita aparece em exatamente duas das equações originais (observe que a aparece em a+b e em e+a, b aparece em a+b e em b+c, etc.). Ao somar todas as cinco equações, cada variável a,b,c,d,e aparecerá duas vezes no lado esquerdo. Então a soma das equações dará 2 vezes a soma a+b+c+d+e. Essa técnica evita ter que resolver para cada variável isoladamente — é mais rápida e elegante para obter a soma desejada.
Passo 3
Somando as cinco equações membro a membro:
(a+b)+(c+d)+(e+a)+(b+c)+(d+e)=10+6+8+11+7.
No lado esquerdo cada variável aparece duas vezes, logo: