Considere o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l} a+b=10 \\\ c+d=6 \\\ e+a=8 \\\ b+c=11 \\\ d+e=7 \end{array}\right.
O valor da expressão: \frac{4}{7} \cdot(a+b+c+d+e) é igual a
(A) 20 .
(B) 16 .
(C) 8 .
(D) 12 .
(E) 24 .

Passo 1

O enunciado dá o sistema de cinco equações lineares com cinco incógnitas e pede o valor da expressão \dfrac{4}{7}\cdot(a+b+c+d+e)\). As informações dadas são: \[\begin{cases} a+b=10\\[4pt] c+d=6\\[4pt] e+a=8\\[4pt] b+c=11\\[4pt] d+e=7 \end{cases}
A pergunta é: qual é o valor de \dfrac{4}{7}\cdot(a+b+c+d+e)\]? (há opções múltipla escolha: \((A)\\\ 20,\\ (B)\\\ 16,\\ \text{(C)}\\\ 8,\\ (D)\\\ 12,\\ (E)\\\ 24).]

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): quando temos várias equações lineares podemos somá-las membro a membro. Isso produz uma nova equação que é uma combinação linear das originais. Aqui cada incógnita aparece em exatamente duas das equações originais (observe que a aparece em a+b e em e+a, b aparece em a+b e em b+c, etc.). Ao somar todas as cinco equações, cada variável a,b,c,d,e aparecerá duas vezes no lado esquerdo. Então a soma das equações dará 2 vezes a soma a+b+c+d+e. Essa técnica evita ter que resolver para cada variável isoladamente — é mais rápida e elegante para obter a soma desejada.

Passo 3

Somando as cinco equações membro a membro:
(a+b)+(c+d)+(e+a)+(b+c)+(d+e)=10+6+8+11+7.
No lado esquerdo cada variável aparece duas vezes, logo:
2\,(a+b+c+d+e)=10+6+8+11+7.

Passo 4

Calcule o lado direito:
10+6+8+11+7=42.
Portanto
2\,(a+b+c+d+e)=42.
Dividindo por 2,
a+b+c+d+e=21.

Passo 5

Agora calcule a expressão pedida:
\frac{4}{7}\cdot(a+b+c+d+e)=\frac{4}{7}\cdot 21=\frac{4\cdot21}{7}=4\cdot3=12.

Resposta

(D) 12

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