Questão 3: (3 pontos)
Use o teste da razão para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}2^{n}}{n!}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série é alternante por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • O termo de módulo (a parte positiva) é
b_n=\frac{n^{2}2^{n}}{n!}.
  • Vamos aplicar o teste da razão aos termos b_n (isto é, à série dos módulos) para decidir sobre convergência absoluta; se a série dos módulos converge, a série original é absolutamente convergente.

Passo 2

Lembrete do que é o teste da razão (explicação didática): dado uma série de termos positivos \sum b_n, define-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
  • Se L<1, a série \sum b_n converge (razão de decaimento menor que 1, parecido com uma série geométrica com razão <1).
  • Se L>1 ou L=\infty, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Conceito de convergência absoluta: a série original \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n|=\sum b_n converge. Convergência absoluta implica convergência (mas a recíproca nem sempre vale).

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão aos termos
b_n=\frac{n^{2}2^{n}}{n!}.
Calcular a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} explicitamente e simplificar passo a passo.

Passo 4

Escrevendo a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{2}2^{n}}.
Agora simplifico fatores óbvios:
2^{\,n+1}/2^{n}=2, \qquad \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
Substituindo:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)^{2}\cdot 2}{(n+1)\cdot n^{2}} = 2\cdot\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)n^{2}}.
Simplificando um fator (n+1):
\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\cdot\frac{n+1}{n^{2}}.

Passo 5

Expresso de outra forma para ver o limite mais claramente:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right).
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=0,
pois \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to0.

Passo 6

Como o limite L do teste da razão satisfa\c{c}~{a}o L=0<1, concluímos que a série dos módulos \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!} converge. Logo a série original é absolutamente convergente. (Se desejar uma intuição: o fatorial cresce muito mais rápido que 2^n ou qualquer potência polinomial em n, por isso os termos vão a zero muito rápido.)

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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