Questão 3: (3 pontos)
Use o teste da razão para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Use o teste da razão para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da razão para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A série é alternante por causa do fator
. - O termo de módulo (a parte positiva) é
- Vamos aplicar o teste da razão aos termos
(isto é, à série dos módulos) para decidir sobre convergência absoluta; se a série dos módulos converge, a série original é absolutamente convergente.
Passo 2
Lembrete do que é o teste da razão (explicação didática): dado uma série de termos positivos
, define-se
- Se
, a série converge (razão de decaimento menor que 1, parecido com uma série geométrica com razão ). - Se
ou , a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Conceito de convergência absoluta: a série original
é absolutamente convergente se a série dos módulos
converge. Convergência absoluta implica convergência (mas a recíproca nem sempre vale).
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão aos termos
Calcular a razão
explicitamente e simplificar passo a passo.
Passo 4
Escrevendo a razão:
Agora simplifico fatores óbvios:
Substituindo:
Simplificando um fator
:
Passo 5
Expresso de outra forma para ver o limite mais claramente:
Agora tomo o limite quando
:
pois
e
.
Passo 6
Como o limite
do teste da razão satisfa\c{c}~{a}o
, concluímos que a série dos módulos
converge. Logo a série original é absolutamente convergente. (Se desejar uma intuição: o fatorial cresce muito mais rápido que
ou qualquer potência polinomial em
, por isso os termos vão a zero muito rápido.)
Resposta
A série é absolutamente convergente.