Considere um sistema físico de três níveis e e um operador físico que pode ser representado nessa base de autovetores pela seguinte matriz:
Observe que A tem espectro degenerado. Dado outro operador B representado nessa base na forma abaixo:
B=(ccc b & 0 & 0 0 & 0 & i b 0 & -i b & )
a) O operador B também tem espectro degenerado?
b) mostre que A e B comutam.
c) encontre uma base que diagonalize A e B simultaneamente.
Passo 1
O enunciado considera um sistema de três níveis $|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle$ e dois operadores representados na base desses estados: \A\ é diagonal com autovalores \a\ e \-a\ (duas vezes degenerado), e \B\ tem bloco não trivial entre \|2\rangle\ e \|3\rangle\. Vamos precisar usar conceitos de espectro de operadores, degenerescência e comutador, além de diagonalização simultânea em subespaços degenerados.
Passo 2
Para o operador \B\ focamos no bloco 2×2 que mistura \|2\rangle\ e \|3\rangle\. Escrevemos esse bloco como
portanto \M\ tem autovalores \+b\ e \-b\. Além disso, há o autovalor \b\ islado na componente \|1\rangle\. Concluímos que \B\ tem espectro \{b,b,-b\} e logo \b\ é duas vezes degenerado.
Passo 3
Para verificar que \A\ e \B\ comutam, usamos a forma matricial diagonal de \A\ e o fato de que \B\ só atua não trivially na submatriz 2–3. Escrevemos \A\ e \B\ como:
A = a & 0 & 0 0 & -a & 0 0 & 0 & -a,
B = b & 0 & 0 0 & 0 & ib 0 & -ib & 0
Então cada elemento do produto \AB\ e \BA\ coincide porque os blocos 2–3 comutam (são proporcionais a identidade ou àquela matriz antissimétrica) e a componente \|1\rangle\ se separa. Logo $A,B$=0.
Passo 4
Para diagonalizar \A\ e \B\ simultaneamente, mantemos \|1\rangle\ como autovetor com autovalores \A|1\rangle = a|1\rangle\ e \B|1\rangle = b|1\rangle\. No subespaço degenerado de \A\ (autovalor \-a\) escolhemos os autovetores de \B\. Resolvendo \M v = \pm b v\ obtemos