Considere um sistema físico de três níveis |1rang<=,|2rang<= e |3rang<= e A um operador físico que pode ser representado nessa base de autovetores pela seguinte matriz:
A=(ccc a & 0 & 0 0 & -a & 0 0 & 0 & -a )
Observe que A tem espectro degenerado. Dado outro operador B representado nessa base na forma abaixo:
B=(ccc b & 0 & 0 0 & 0 & i b 0 & -i b & )
a) O operador B também tem espectro degenerado?
b) mostre que A e B comutam.
c) encontre uma base que diagonalize A e B simultaneamente.

Passo 1

O enunciado considera um sistema de três níveis $|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle$ e dois operadores representados na base desses estados: \A\ é diagonal com autovalores \a\ e \-a\ (duas vezes degenerado), e \B\ tem bloco não trivial entre \|2\rangle\ e \|3\rangle\. Vamos precisar usar conceitos de espectro de operadores, degenerescência e comutador, além de diagonalização simultânea em subespaços degenerados.

Passo 2

Para o operador \B\ focamos no bloco 2×2 que mistura \|2\rangle\ e \|3\rangle\. Escrevemos esse bloco como
M = b0 & i -i & 0
Calculamos o polinômio característico de \M\:
detl(M - lambda Ir) = det-lambda & ib -ib & -lambda = lambda^2 - ( -i,i )b^2 = lambda^2 - b^2 = 0,
portanto \M\ tem autovalores \+b\ e \-b\. Além disso, há o autovalor \b\ islado na componente \|1\rangle\. Concluímos que \B\ tem espectro \{b,b,-b\} e logo \b\ é duas vezes degenerado.

Passo 3

Para verificar que \A\ e \B\ comutam, usamos a forma matricial diagonal de \A\ e o fato de que \B\ só atua não trivially na submatriz 2–3. Escrevemos \A\ e \B\ como:
A = a & 0 & 0 0 & -a & 0 0 & 0 & -a,
B = b & 0 & 0 0 & 0 & ib 0 & -ib & 0
Então cada elemento do produto \AB\ e \BA\ coincide porque os blocos 2–3 comutam (são proporcionais a identidade ou àquela matriz antissimétrica) e a componente \|1\rangle\ se separa. Logo $ A,B$=0.

Passo 4

Para diagonalizar \A\ e \B\ simultaneamente, mantemos \|1\rangle\ como autovetor com autovalores \A|1\rangle = a|1\rangle\ e \B|1\rangle = b|1\rangle\. No subespaço degenerado de \A\ (autovalor \-a\) escolhemos os autovetores de \B\. Resolvendo \M v = \pm b v\ obtemos
v+ = 1raiz2l(|2rang<= + i|3rang<=r), v- = 1raiz2l(|2rang<= - i|3rang<=r)
Nessa base os dois operadores ficam diagonais.

Passo 5

A base que diagonaliza simultaneamente \A\ e \B\ é portanto:
l,|1rang<=, ;|2rang<= + i|3rang<=raiz2, ;|2rang<= - i|3rang<=raiz2r

Resposta

A base simultânea de autovetores é \{ |1\rangle, (|2\rangle + i|3\rangle)/\sqrt2, (|2\rangle - i|3\rangle)/\sqrt2 \}.

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