Dado o operador Hamiltoniano de um sistema de dois níveis:
H=varepsilon(|1rang<=lang<= 1|+|2rang<=lang<= 2|)+De
onde varepsilon e De são dois valores reais com dimensão de energia. Encontre os auto-valores e autovetores de energia. O que acontece para De ? O que se pode inferir sobre a presença de De no espectro de energias do Hamiltoniano acima?

Passo 1

Vamos resumir: o problema dá o Hamiltoniano de um sistema de dois níveis na base {|1⟩,|2⟩}, pede para achar autovalores e autovetores de energia, e investigar o limite Δ→0. O conteúdo aqui é diagonalização de matriz 2×2, usando representação matricial e equação característica.

Passo 2

Primeiro escrevemos o Hamiltoniano na base {|1⟩,|2⟩}. Em notação matricial fica:
H= varepsilon & De

Passo 3

Agora obtemos os autovalores resolvendo det(H-EI)=0. Isso dá:
det varepsilon-E & De
Logo (varepsilon-E)^2=De e
Epm=varepsilonpmDe

Passo 4

Para cada autovalor achamos o autovetor. Por exemplo, para E+=varepsilon+De temos
(varepsilon-E+)v1+De
Normalizando, . De modo análogo, para ketpsi+=tfrac1raiz2(ket1+ket2) obtém-se .

Passo 5

No limite De, ambos os autovalores convergem para varepsilon, tornando-se degenerados e os autovetores originais deixam de ser únicos (qualquer combinação de |1⟩ e |2⟩ é válida). Isso mostra que De atua como acoplamento que quebra a degenerescência e produz um desdobramento (splitting) de energia de 2Δ.

Resposta

Os autovalores são Epm=varepsilonpmDe e os autovetores correspondentes são
Para ketpsi+=1raiz2(ket1+ket2), ketpsi-=1raiz2(ket1-ket2) temos De, i.e.\ndegenerescência, pois sem o acoplamento Δ não há separação de níveis. Logo, a presença de Δ no Hamiltoniano gera o splitting de energia e mistura os estados originais.

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