Dado o operador Hamiltoniano de um sistema de dois níveis:
onde
e
são dois valores reais com dimensão de energia. Encontre os auto-valores e autovetores de energia. O que acontece para
? O que se pode inferir sobre a presença de
no espectro de energias do Hamiltoniano acima?
Passo 1
Vamos resumir: o problema dá o Hamiltoniano de um sistema de dois níveis na base {|1⟩,|2⟩}, pede para achar autovalores e autovetores de energia, e investigar o limite Δ→0. O conteúdo aqui é diagonalização de matriz 2×2, usando representação matricial e equação característica.
Passo 2
Primeiro escrevemos o Hamiltoniano na base {|1⟩,|2⟩}. Em notação matricial fica:
Passo 3
Agora obtemos os autovalores resolvendo
. Isso dá:
Logo
e
Passo 4
Para cada autovalor achamos o autovetor. Por exemplo, para
temos
Normalizando, . De modo análogo, para
obtém-se .
Passo 5
No limite
, ambos os autovalores convergem para
, tornando-se degenerados e os autovetores originais deixam de ser únicos (qualquer combinação de |1⟩ e |2⟩ é válida). Isso mostra que
atua como acoplamento que quebra a degenerescência e produz um desdobramento (splitting) de energia de 2Δ.
Resposta
Os autovalores são
e os autovetores correspondentes são
Para
temos
, i.e.\ndegenerescência, pois sem o acoplamento Δ não há separação de níveis. Logo, a presença de Δ no Hamiltoniano gera o splitting de energia e mistura os estados originais.