Dado o operador Hamiltoniano de um sistema de dois níveis:
onde
e
são dois valores reais com dimensão de energia. Encontre os auto-valores e autovetores de energia. O que acontece para
?
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar o Hamiltoniano de um sistema de dois níveis
Isso cai na matéria de diagonalização de matrizes 2×2 e resolução do polinômio característico. Vamos precisar montar a matriz de
na base
, achar os valores próprios resolvendo o determinante e depois obter os vetores próprios normais.
Passo 2
Escrevendo
em forma matricial na base
, temos
Esse passo é fundamental para aplicar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 3
Para encontrar os auto-valores
, montamos o polinômio característico
Calculando o determinante:
logo
Passo 4
Agora obtemos os autovetores resolvendo
. Para
:
Escolhendo
e normalizando, definimos
De modo análogo, para
obtemos
Passo 5
No limite
, temos
e
Isso faz com que
e
(se ; trocam-se se
). Assim os estados próprios tendem aos estados de base quando não há acoplamento.
(se
Passo 6
Resposta
Os auto-valores são
com estados próprios normalizados
$$
|E_+\rangle=\frac{1}{\sqrt{1+\bigl(\frac{E-\varepsilon}{\Delta}\bigr)^2}}\Bigl(|1\rangle+\frac{E-\varepsilon}{\Delta},|2\rangle\Bigr),
$$
onde
. No limite
, os valores próprios vão para
e os autovetores convergem para os estados de base
e
.