Dado o operador Hamiltoniano de um sistema de dois níveis:
H=varepsilon(|1rang<=lang<= 1|-|2rang<=lang<= 2|)+De
onde varepsilon e De são dois valores reais com dimensão de energia. Encontre os auto-valores e autovetores de energia. O que acontece para De ?

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar o Hamiltoniano de um sistema de dois níveis
hat H=varepsilonl(|1rang<=lang<=1|-|2rang<=lang<=2|r)+De
Isso cai na matéria de diagonalização de matrizes 2×2 e resolução do polinômio característico. Vamos precisar montar a matriz de hat H na base |1rang<=,|2rang<=, achar os valores próprios resolvendo o determinante e depois obter os vetores próprios normais.

Passo 2

Escrevendo hat H em forma matricial na base |1rang<=,|2rang<=, temos
H= varepsilon & De
Esse passo é fundamental para aplicar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 3

Para encontrar os auto-valores lambda, montamos o polinômio característico
detl(H-lambda Ir)=det varepsilon-lambda & De
Calculando o determinante:
(varepsilon-lambda)(-varepsilon-lambda)-De
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lambdapm=pmraizvarepsilon^2+De

Passo 4

Agora obtemos os autovetores resolvendo (H-lambdapm I)vec vpm=0. Para lambda+=E:
(varepsilon-E)a+De
Escolhendo a=1 e normalizando, definimos
|E+rang<==1raiz1+l(tfracE-varepsilonDe
De modo análogo, para lambda-=-E obtemos
|E-rang<==1raiz1+l(tfracE+varepsilonDe

Passo 5

No limite De, temos Eto|varepsilon| e
E-varepsilonDe
Isso faz com que
,|E+rang<=to|1rang<= e ,|E-rang<=to|2rang<=
(se varepsilon>0; trocam-se se varepsilon<0). Assim os estados próprios tendem aos estados de base quando não há acoplamento.

Passo 6

Resposta

Os auto-valores são
lambdapm=pmraizvarepsilon^2+De
com estados próprios normalizados
$$
|E_+\rangle=\frac{1}{\sqrt{1+\bigl(\frac{E-\varepsilon}{\Delta}\bigr)^2}}\Bigl(|1\rangle+\frac{E-\varepsilon}{\Delta},|2\rangle\Bigr),
$$
|E+rang<==1raiz1+l(E-varepsilonDe
onde |E-rang<==1raiz1+l(E+varepsilonDe. No limite E=raizvarepsilon^2+De, os valores próprios vão para De e os autovetores convergem para os estados de base pmvarepsilon e |1rang<=.

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