Considere um sistema físico tridimensional cujo espaço de estados é dado por três vetores ortonormais: . Nessa base, assumindo essa ordem, dois operadores " H " e " B " são definidos da seguinte maneira:
H=hbar omega(ccc 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ) e B=b(lll 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ) Onde w e b são constantes reais ã
Responda:
a) H e B são operadores Hermitianos? (1,0pt)
b) HeB comutam? (1,0pt)
c) Os autovalores do operador B são reais? Explique. (1,0pt)
Passo 1
O enunciado define dois operadores H e B na base lvert a1rang<=,lvert a2rang<=,lvert a3rang<= tridimensional, cujas matrizes são dadas por
Para achar os autovalores de B, note que na base lvert a1rang<=opluslvert a2rang<=,lvert a3rang<= a matriz de B divide‐se em
– no subespaço lvert a1rang<=: o valor próprio é b,
– no bloco 2,3 temos
b0&11&0
cujos autovalores são pm b.
Logo os autovalores de B são
b, b, -b,
todos números reais. Além disso, pelo teorema espectral, todo operador Hermitiano possui autovalores reais.
Resposta
(a) H e B são Hermitianos.
(b) H e B comutam ([H,B]=0).
(c) Os autovalores de B são b,b,-b, todos reais.