Considere um sistema físico tridimensional cujo espaço de estados é dado por três vetores ortonormais: |a1rang<==(l1 0 0) ;|a2rang<==(l0 1 0) ;|a3rang<==(l0 0 1). Nessa base, assumindo essa ordem, dois operadores " H " e " B " são definidos da seguinte maneira:
H=hbar omega(ccc 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ) e B=b(lll 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ) Onde w e b são constantes reais ã
Responda:
a) H e B são operadores Hermitianos? (1,0pt)
b) HeB comutam? (1,0pt)
c) Os autovalores do operador B são reais? Explique. (1,0pt)

Passo 1

O enunciado define dois operadores H e B na base lvert a1rang<=,lvert a2rang<=,lvert a3rang<= tridimensional, cujas matrizes são dadas por
H=hbaromega 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , B=b 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Pede‐se (a) verificar se são Hermitianos, (b) se comutam e (c) se os autovalores de B são reais.

Passo 2

Um operador O é Hermitiano se O^dag>=r=O. Como hbaromega e b são números reais:
  • H é diagonal com entradas reais, logo
H^dag>=r =l(hbaromega,diag(1,-1,-1)r)^dag>=r =hbaromega,diag(1,-1,-1) =H
  • B é simétrica e real (troca apenas as componentes 2 e 3), logo
B^dag>=r =l(b,1&0&00&0&10&1&0r)^dag>=r =b,1&0&00&0&10&1&0 =B

Passo 3

Para checar comutação, calculamos
HB =hbaromega,b 1&0&00&-1&00&0&-1 1&0&00&0&10&1&0 =bhbaromega 1&0&00&0&-10&-1&0,
BH =b,hbaromega 1&0&00&0&10&1&0 1&0&00&-1&00&0&-1 =bhbaromega 1&0&00&0&-10&-1&0
Como HB=BH, concluímos que [H,B]=0.

Passo 4

Para achar os autovalores de B, note que na base lvert a1rang<=opluslvert a2rang<=,lvert a3rang<= a matriz de B divide‐se em
– no subespaço lvert a1rang<=: o valor próprio é b,
– no bloco 2,3 temos
b0&11&0
cujos autovalores são pm b.
Logo os autovalores de B são
b, b, -b,
todos números reais. Além disso, pelo teorema espectral, todo operador Hermitiano possui autovalores reais.

Resposta

(a) H e B são Hermitianos.
(b) H e B comutam ( [H,B]=0).
(c) Os autovalores de B são b,b,-b, todos reais.

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