Questão 16: O potencial de um campo dentro de uma esfera carregada depende somente sobre a distância do seu centro como V=a r^2+b, onde a e b são constantes. Encontre a distribuição volumétrica da cargas rho(r) dentro da esfera.

Passo 1

O enunciado diz que, dentro de uma esfera carregada, o potencial escalar V depende só da distância r ao centro, valendo
V(r)=a,r^2+b,
sendo a e b constantes. Queremos achar a densidade volumétrica de carga rho(r). Para isso vamos usar a equação de Poisson em eletrostática:
nabla^2V=-rhovarepsilon0,
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo, e calcular o laplaciano de V(r) em coordenadas esféricas.

Passo 2

Como V depende só de r, o laplaciano em simetria esférica é
nabla^2V =1r^2ddr!l(r^2dVdrr)
Primeiro achamos a derivada radial de V:
dVdr =ddrl(a,r^2+br) =2a,r

Passo 3

Em seguida montamos r^2,dVdr e derivamos de novo:
r^2dVdr =r^2,(2a,r) =2a,r^3,
ddrl(2a,r^3r) =6a,r^2
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nabla^2V =1r^2l(6a,r^2r) =6a

Passo 4

Aplicando a equação de Poisson,
nabla^2V=-rhovarepsilon0 Longrightarrow 6a=-rhovarepsilon0 Longrightarrow rho=-6a,varepsilon0
Observamos que rho não depende de r: é uma densidade constante.

Resposta

rho(r)=-6,a,varepsilon0

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