Questão 16: O potencial de um campo dentro de uma esfera carregada depende somente sobre a distância do seu centro como
, onde
e
são constantes. Encontre a distribuição volumétrica da cargas
dentro da esfera.
Passo 1
O enunciado diz que, dentro de uma esfera carregada, o potencial escalar
depende só da distância
ao centro, valendo
sendo
e
constantes. Queremos achar a densidade volumétrica de carga
. Para isso vamos usar a equação de Poisson em eletrostática:
onde
é a permissividade do vácuo, e calcular o laplaciano de
em coordenadas esféricas.
Passo 2
Como
depende só de
, o laplaciano em simetria esférica é
Primeiro achamos a derivada radial de
:
Passo 3
Em seguida montamos
e derivamos de novo:
Logo
Passo 4
Aplicando a equação de Poisson,
Observamos que
não depende de
: é uma densidade constante.