Questão 15: Uma carga uniformemente distribuída em um dado volume preenche o espaço entre duas placas grandes paralelas separadas por uma distância d. A diferença de potencial entre as placas é igual a De<a V. Qual o valor da densidade de carga rho para que o campo na vizinhança de uma das placas seja zero? Qual será a intensidade do campo próximo a outra placa?

Passo 1

O enunciado trata de eletrostática em uma região entre duas placas planas paralelas separadas de uma distância d, preenchida por uma carga volumétrica uniforme de densidade rho. A diferença de potencial entre as placas vale De<a V. Queremos achar rho de modo que o campo elétrico seja zero junto a uma das placas e depois determinar o campo junto à outra. Para isso vamos usar a relação de Maxwell–Gauss no vácuo
dEdx = rhovarepsilon0
e a definição de diferença de potencial
De<a V = V(d) - V(0) = -integral0^d E(x),dx

Passo 2

Integramos
dEdx = rhovarepsilon0
em relação a x. Obtemos
E(x) = rhovarepsilon0,x + C,
onde C é a constante de integração, a ser fixada pela condição de contorno.

Passo 3

Impondo que o campo junto à placa em x=0 seja zero, temos
E(0) = 0 Longrightarrow C = 0
Logo
E(x) = rhovarepsilon0,x

Passo 4

Agora calculamos a diferença de potencial entre x=0 e x=d:
De<a V = -integral0^d E(x),dx = -integral0^d rhovarepsilon0,x,dx = -rhovarepsilon0,d^22
Em módulo (tomando De<a V>0) fica
De<a V = rho2varepsilon0,d^2

Passo 5

Isolando rho da expressão anterior, chega-se a
rho = 2varepsilon0,De<a Vd^2

Passo 6

Por fim, o campo junto à outra placa em x=d é
E(d) = rhovarepsilon0,d = 1varepsilon0,2varepsilon0,De<a Vd^2,d = 2,De<a Vd

Resposta

A densidade de carga necessária é
rho = 2varepsilon0,De<a Vd^2,
de forma que o campo elétrico junto a uma placa seja zero. O campo junto à outra placa tem intensidade
E = 2,De<a Vd

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