Imagine um sistema no qual haja apenas 2 estados linearmente independentes:
No tempo
, a partícula se encontra no estado
. O Hamiltoniano do sistema é dado por:
a) “O sistema realiza transição ao longo da evolução temporal”. Com base apenas na observação da matriz do Hamiltoniano, justifique essa afirmação (sem conta). (1,0pt)
b) Qual é o estado do sistema no tempo "
"? (2,0pt)
c) Qual é o tempo mínimo que o sistema leva para ir para o estado
? (Aqui é só encontrar o menor tempo em que a componente de
se anula com a evolução temporal) (2,0pt)
b) Qual é o estado do sistema no tempo "
c) Qual é o tempo mínimo que o sistema leva para ir para o estado
Passo 1
O enunciado descreve um sistema quântico de dois níveis com base ortonormal
, em que no instante
temos
. O Hamiltoniano é
com
.
Conteúdo: evolução temporal de um sistema de dois níveis pelo operador unitário .
Objetivos:
a) Justificar qualitativamente por que ocorrem transições entre e
.
b) Calcular .
c) Determinar o menor tal que a componente em
se anule.
Conteúdo: evolução temporal de um sistema de dois níveis pelo operador unitário
Objetivos:
a) Justificar qualitativamente por que ocorrem transições entre
b) Calcular
c) Determinar o menor
Passo 2
O Hamiltoniano apresenta termos fora da diagonal,
. Isso significa que as bases
e
não são autovetores de
, ou seja, o sistema não permanece em
mas “mistura” amplitudes entre
e
. Em termos físicos,
é o acoplamento que induz transição entre os dois estados.
Passo 3
Escrevemos
onde
e
. Logo
Usamos a identidade para Pauli:
Tomando
, tem-se
Aplicando em
:
Passo 4
A componente em
é proporcional a
. Para que ela zere, basta
O menor tempo positivo ocorre em
, ou seja
Resposta
(a) Há termos fora da diagonal (
) em
, o que acopla
e
, gerando transições.
(b)
(b)
(c)