Considere um sistema da forma
\begin{aligned} & a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=0 \\\ & a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=0 \end{aligned}
onde a_{11}, a_{12}, a_{21} e a_{22} são constantes. Explique por que um sistema dessa forma deve ser consistente.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{aligned} & a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=0,\\\ & a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=0, \end{aligned}
onde a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} são constantes. A pergunta é: explique por que um sistema dessa forma deve ser consistente.
Informações relevantes fornecidas:
  • São duas equações lineares homogêneas em duas variáveis x_{1} e x_{2}.
  • O lado direito de ambas as equações é 0.
  • Não há mais informações sobre os a_{ij} (podem ser quaisquer constantes).

Passo 2

Definição clara do que significa “sistema consistente”. Um sistema de equações é consistente quando existe pelo menos uma solução que satisfaz todas as equações simultaneamente. Se não existir nenhuma solução, o sistema é inconsistente.
Agora mostramos uma solução explícita que sempre funciona: tomar
x_{1}=0,\qquad x_{2}=0.
Substituindo nas equações do sistema obtemos, para a primeira equação,
a_{11}\cdot 0 + a_{12}\cdot 0 = 0,
e para a segunda,
a_{21}\cdot 0 + a_{22}\cdot 0 = 0.
Em ambas as igualdades o lado esquerdo é 0, igual ao lado direito. Logo (x_{1},x_{2})=(0,0) é uma solução do sistema.
Conseqüência imediata: porque existe pelo menos essa solução, o sistema é consistente. Esta é a razão principal e mais direta.

Passo 3

Explicação adicional (útil para a prova): caráter das soluções além da trivial. Defina o determinante associado à matriz dos coeficientes
D = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Aplicando a ideia da regra de Cramer (ou observando diretamente), considere os determinantes que substituem a coluna dos termos independentes (aqui todos zeros). Os determinantes dos numeradores serão
D_{1}=0,\qquad D_{2}=0,
porque a coluna de termos independentes é zero. Assim, pela fórmula de Cramer
x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{0}{D}=0,\qquad x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{0}{D}=0,
quando D\neq0. Portanto, se D\neq0 a única solução é a solução trivial (0,0).

Passo 4

Caso D=0: interpretação e como encontrar as soluções. Se D=0 a matriz de coeficientes é singular, o que significa que as duas equações são linearmente dependentes (uma é múltiplo da outra) ou uma é degenerate. Nesse caso existem soluções não-triviais além de (0,0) — na verdade existem infinitas soluções. Para ver como obter essas soluções, procede-se por parametrização. Por exemplo, se a_{11}\neq0 então a primeira equação dá
x_{1} = -\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_{2}.
Tomando x_{2}=t (um parâmetro livre), obtemos a família de soluções
(x_{1},x_{2})=\Bigl(-\frac{a_{12}}{a_{11}}\,t,\,t\Bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
que inclui o caso t=0 (a solução trivial). Se a_{11}=0 mas a_{12}\neq0, resolve-se analogamente pela primeira equação para obter x_{2}=0 e depois a segunda dá x_{1} etc.; em todos os casos com D=0 há liberdade para escolher uma variável e parametrizar as soluções.

Passo 5

Resumo final e incentivo: portanto, independentemente dos valores dos coeficientes a_{ij}, o sistema é sempre consistente porque a solução trivial (x_{1},x_{2})=(0,0) existe sempre. Dependendo do determinante D=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a situação é:
  • se D\neq0: única solução é a trivial (0,0);
  • se D=0: existem infinitas soluções, que podem ser obtidas escolhendo uma variável livre e parametrizando a outra.
Fica a dica: na prova, ao ver um sistema homogêneo, já pode responder de cara que ele é consistente porque o vetor nulo é sempre solução — uma vitória rápida quando o tempo é curto!

Resposta

O sistema é consistente porque admite sempre a solução trivial (x_{1},x_{2})=(0,0).

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