Considere um sistema da forma
onde
e
são constantes. Explique por que um sistema dessa forma deve ser consistente.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
onde
são constantes. A pergunta é: explique por que um sistema dessa forma deve ser consistente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- São duas equações lineares homogêneas em duas variáveis
e . - O lado direito de ambas as equações é
. - Não há mais informações sobre os
(podem ser quaisquer constantes).
Passo 2
Definição clara do que significa “sistema consistente”. Um sistema de equações é consistente quando existe pelo menos uma solução que satisfaz todas as equações simultaneamente. Se não existir nenhuma solução, o sistema é inconsistente.
Agora mostramos uma solução explícita que sempre funciona: tomar
Substituindo nas equações do sistema obtemos, para a primeira equação,
e para a segunda,
Em ambas as igualdades o lado esquerdo é
, igual ao lado direito. Logo
é uma solução do sistema.
Conseqüência imediata: porque existe pelo menos essa solução, o sistema é consistente. Esta é a razão principal e mais direta.
Passo 3
Explicação adicional (útil para a prova): caráter das soluções além da trivial. Defina o determinante associado à matriz dos coeficientes
Aplicando a ideia da regra de Cramer (ou observando diretamente), considere os determinantes que substituem a coluna dos termos independentes (aqui todos zeros). Os determinantes dos numeradores serão
porque a coluna de termos independentes é zero. Assim, pela fórmula de Cramer
quando
. Portanto, se
a única solução é a solução trivial
.
Passo 4
Caso
: interpretação e como encontrar as soluções. Se
a matriz de coeficientes é singular, o que significa que as duas equações são linearmente dependentes (uma é múltiplo da outra) ou uma é degenerate. Nesse caso existem soluções não-triviais além de
— na verdade existem infinitas soluções. Para ver como obter essas soluções, procede-se por parametrização. Por exemplo, se
então a primeira equação dá
Tomando
(um parâmetro livre), obtemos a família de soluções
que inclui o caso
(a solução trivial). Se
mas
, resolve-se analogamente pela primeira equação para obter
e depois a segunda dá
etc.; em todos os casos com
há liberdade para escolher uma variável e parametrizar as soluções.
Passo 5
Resumo final e incentivo: portanto, independentemente dos valores dos coeficientes
, o sistema é sempre consistente porque a solução trivial
existe sempre. Dependendo do determinante
a situação é:
- se
: única solução é a trivial ; - se
: existem infinitas soluções, que podem ser obtidas escolhendo uma variável livre e parametrizando a outra.
Fica a dica: na prova, ao ver um sistema homogêneo, já pode responder de cara que ele é consistente porque o vetor nulo é sempre solução — uma vitória rápida quando o tempo é curto!
Resposta
O sistema é consistente porque admite sempre a solução trivial
.