Escreva as equações das elipses:
De focos F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0) e eixo maior medindo 12 u.m.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva as equações das elipses dadas as seguintes informações:
  • Focos F_{1}(-4,0) e F_{2}(4,0).
  • Eixo maior medindo 12 unidades de medida (ou seja, comprimento do eixo maior =12).

Passo 2

Interpretando as informações dadas (sem resolver ainda): os dois focos estão simetricamente colocados em torno da origem, em (-4,0) e (4,0). Isso já indica que o centro da elipse é o ponto médio dos focos, que é (0,0). Vou usar esse dado adiante.

Passo 3

Definição e notação importante (aulas rápidas para lembrar o que cada letra significa):
  • Para uma elipse com centro na origem e eixo maior ao longo do eixo x:
    • \;2a é o comprimento do eixo maior (distância total entre os vértices maiores). Aqui foi dado que 2a=12, então a é a meia‑distância do eixo maior.
    • \;2c é a distância entre os dois focos. Os focos são (\pm c,0) nesse caso.
    • \;b é o semi-eixo menor, relacionado por \;b^{2}=a^{2}-c^{2}.
  • A equação padrão (canônica) da elipse com centro na origem e eixo maior horizontal é:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Explicando: x e y são coordenadas de um ponto qualquer da elipse; a controla a largura horizontal (semi-eixo maior) e b a altura vertical (semi-eixo menor). A constante c determina a posição dos focos.

Passo 4

Calcular a e c a partir dos dados:
  • Do eixo maior dado: \;2a=12 então
a=6.
  • A distância entre focos é a distância entre (-4,0) e (4,0), que é 8. Assim \;2c=8 e
c=4.

Passo 5

Calcular b usando a relação entre a, b e c:
b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Substituindo os valores:
b^{2}=6^{2}-4^{2}=36-16=20.
Logo \;b=\sqrt{20}=2\sqrt{5} (mas para a equação padrão basta b^{2}=20).

Passo 6

Escrever a equação padrão substituindo a^{2}=36 e b^{2}=20:
\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1.
Essa é a forma cartesiana canônica da elipse solicitada.

Passo 7

Formas alternativas úteis (muito usadas em provas):
  • Forma paramétrica (uma forma prática para gerar pontos da elipse):
x= a\cos t = 6\cos t,\qquad y= b\sin t = 2\sqrt{5}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Forma geral (equação quadrática sem denominadores): multiplicando a equação canônica por 180 (o mínimo múltiplo de 36 e 20) obtém-se
5x^{2}+9y^{2}=180.
Esta última é equivalente à anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1
\displaystyle x=6\cos t,\; y=2\sqrt{5}\sin t,\; t\in[0,2\pi)
\displaystyle 5x^{2}+9y^{2}=180

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