Escreva as equações das elipses:
De focos
e eixo maior medindo 12 u.m.
De focos
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva as equações das elipses dadas as seguintes informações:
- Focos
e . - Eixo maior medindo
unidades de medida (ou seja, comprimento do eixo maior ).
Passo 2
Interpretando as informações dadas (sem resolver ainda): os dois focos estão simetricamente colocados em torno da origem, em
e
. Isso já indica que o centro da elipse é o ponto médio dos focos, que é
. Vou usar esse dado adiante.
Passo 3
Definição e notação importante (aulas rápidas para lembrar o que cada letra significa):
- Para uma elipse com centro na origem e eixo maior ao longo do eixo
: -
é o comprimento do eixo maior (distância total entre os vértices maiores). Aqui foi dado que , então é a meia‑distância do eixo maior. -
é a distância entre os dois focos. Os focos são nesse caso. -
é o semi-eixo menor, relacionado por .
-
- A equação padrão (canônica) da elipse com centro na origem e eixo maior horizontal é:
Explicando:
e
são coordenadas de um ponto qualquer da elipse;
controla a largura horizontal (semi-eixo maior) e
a altura vertical (semi-eixo menor). A constante
determina a posição dos focos.
Passo 4
Calcular
e
a partir dos dados:
- Do eixo maior dado:
então
- A distância entre focos é a distância entre
e , que é . Assim e
Passo 5
Calcular
usando a relação entre
,
e
:
Substituindo os valores:
Logo
(mas para a equação padrão basta
).
Passo 6
Escrever a equação padrão substituindo
e
:
Essa é a forma cartesiana canônica da elipse solicitada.
Passo 7
Formas alternativas úteis (muito usadas em provas):
- Forma paramétrica (uma forma prática para gerar pontos da elipse):
- Forma geral (equação quadrática sem denominadores): multiplicando a equação canônica por
(o mínimo múltiplo de e ) obtém-se
Esta última é equivalente à anterior.