usando a eliminação em uma matriz aumentada 3 \times 5 e depois executando duas substituições reversas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver dois sistemas lineares que têm a mesma matriz de coeficientes, usando uma única matriz aumentada 3\times5\) (ou seja, a matriz \(A\) com duas colunas de termos independentes) e depois fazer duas substituições reversas para obter as duas soluções. As equações (organizadas) são, para ambos os sistemas, as mesmas nas incógnitas \(x_{1},x_{2},x_{3}\):
\[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=9 \end{cases}
O primeiro vetor de termos independentes é b^{(1)}=(1,9,9)^{T}\].
- O segundo vetor de termos independentes é \(b^{(2)}=(1,9,-2)^{T}.
- A tarefa é montar a matriz aumentada [A\mid b^{(1)}\\ b^{(2)}], aplicar eliminação para triangularizar e então fazer duas substituições reversas (back-substitution), uma para cada coluna de termos independentes, obtendo as duas soluções.]
Passo 2
Montamos a matriz aumentada 3\times5 juntando A e as duas colunas b^{(1)} e b^{(2)}. Essa é a forma de trabalhar os dois sistemas ao mesmo tempo:
Comentário didático rápido: cada linha corresponde a uma equação; as duas últimas colunas após a barra vertical são os dois vetores de termos independentes. As operações elementares realizadas nas linhas vão valer para as duas colunas de termos independentes simultaneamente, então economizamos trabalho.]
Passo 3
Objetivo da eliminação: zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o elemento na posição (1,1)) para transformar a matriz em forma triangular superior. Fazemos operações do tipo R_{i}\leftarrow R_{i}-k R_{1}. Primeiro:
Substituir R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
Substituir R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}.
Calculemos cada entrada (explico os cálculos para que você faça sem medo na prova):
Para R_{2}-2R_{1}:
Coluna 1: 2-2\cdot1=0.
Coluna 2: 5-2\cdot2=5-4=1.
Coluna 3: 1-2\cdot(-2)=1+4=5.
Primeira coluna de termos independentes: 9-2\cdot1=7.
Segunda coluna de termos independentes: 9-2\cdot1=7.
Comentário didático: chegamos a uma matriz onde a terceira linha tem só o coeficiente de x_{3} não nulo; isso facilita a substituição reversa porque já isolamos x_{3} em cada sistema.]
Passo 5
Interpretação da terceira linha para os dois sistemas: a terceira linha representa a equação (para cada coluna de termos independentes)
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}= \text{(entrada na coluna de termos independentes)}.
Portanto:
Para o primeiro sistema (primeira coluna de termos independentes): \,x_{3}=1.
Para o segundo sistema (segunda coluna de termos independentes): \,x_{3}=-10.
Isto é a primeira substituição reversa — já encontramos x_{3} em ambos.
Passo 6
Agora usamos a segunda linha, que representa
0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+5\cdot x_{3}=7.
Isolando x_{2} obtemos a fórmula geral
x_{2}=7-5x_{3}.
Substituímos os valores de x_{3} encontrados no passo anterior:
Para o primeiro sistema (onde x_{3}=1):
x_{2}=7-5\cdot 1=7-5=2.
Para o segundo sistema (onde x_{3}=-10):
x_{2}=7-5\cdot(-10)=7+50=57.
Passo 7
Finalmente usamos a primeira linha, que representa
1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}-2\cdot x_{3}=1.
Isolando x_{1} temos a fórmula
x_{1}=1-2x_{2}+2x_{3}.
Agora substituímos os x_{2},x_{3} já encontrados:
Para o primeiro sistema (x_{2}=2,\\ x_{3}=1):
x_{1}=1-2\cdot 2+2\cdot 1=1-4+2=-1.
Para o segundo sistema (x_{2}=57,\\ x_{3}=-10):
x_{1}=1-2\cdot 57+2\cdot(-10)=1-114-20= -133.
Passo 8
Reunião final das soluções (organizadas em vetores coluna para cada sistema):