Resolva os dois sistemas
\begin{array}{rlr} x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3} & =1 & x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3} \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3} & =9 \\\ x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3} & =9 & 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=9 \\\ x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=-2 & \end{array}
usando a eliminação em uma matriz aumentada 3 \times 5 e depois executando duas substituições reversas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois sistemas lineares que têm a mesma matriz de coeficientes, usando uma única matriz aumentada 3\times5\) (ou seja, a matriz \(A\) com duas colunas de termos independentes) e depois fazer duas substituições reversas para obter as duas soluções. As equações (organizadas) são, para ambos os sistemas, as mesmas nas incógnitas \(x_{1},x_{2},x_{3}\): \[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=9 \end{cases}
e
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=-2. \end{cases}
Resumindo as informações relevantes:
  • A matriz de coeficientes é a mesma nos dois sistemas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 5 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
  • O primeiro vetor de termos independentes é b^{(1)}=(1,9,9)^{T}\]. - O segundo vetor de termos independentes é \(b^{(2)}=(1,9,-2)^{T}.
    - A tarefa é montar a matriz aumentada [A\mid b^{(1)}\\ b^{(2)}], aplicar eliminação para triangularizar e então fazer duas substituições reversas (back-substitution), uma para cada coluna de termos independentes, obtendo as duas soluções.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada 3\times5 juntando A e as duas colunas b^{(1)} e b^{(2)}. Essa é a forma de trabalhar os dois sistemas ao mesmo tempo:
\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 5 & 1 & 9 & 9\\[4pt] 1 & 3 & 4 & 9 & -2 \end{array}\right].
Comentário didático rápido: cada linha corresponde a uma equação; as duas últimas colunas após a barra vertical são os dois vetores de termos independentes. As operações elementares realizadas nas linhas vão valer para as duas colunas de termos independentes simultaneamente, então economizamos trabalho.]

Passo 3

Objetivo da eliminação: zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o elemento na posição (1,1)) para transformar a matriz em forma triangular superior. Fazemos operações do tipo R_{i}\leftarrow R_{i}-k R_{1}. Primeiro:
  • Substituir R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
  • Substituir R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}.
Calculemos cada entrada (explico os cálculos para que você faça sem medo na prova):
Para R_{2}-2R_{1}:
  • Coluna 1: 2-2\cdot1=0.
  • Coluna 2: 5-2\cdot2=5-4=1.
  • Coluna 3: 1-2\cdot(-2)=1+4=5.
  • Primeira coluna de termos independentes: 9-2\cdot1=7.
  • Segunda coluna de termos independentes: 9-2\cdot1=7.
Para R_{3}-R_{1}:
  • Coluna 1: 1-1=0.
  • Coluna 2: 3-2=1.
  • Coluna 3: 4-(-2)=4+2=6.
  • Primeira coluna de termos independentes: 9-1=8.
  • Segunda coluna de termos independentes: -2-1=-3.
A matriz após essas operações fica:
\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 7 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 6 & 8 & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (elemento (2,2)=1) para zerar o elemento abaixo dele em (3,2). Fazemos R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}.
Calculemos:
  • Coluna 1: 0-0=0.
  • Coluna 2: 1-1=0.
  • Coluna 3: 6-5=1.
  • Primeira coluna de termos independentes: 8-7=1.
  • Segunda coluna de termos independentes: -3-7=-10.
A matriz triangular superior final é:
\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 7 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -10 \end{array}\right].
Comentário didático: chegamos a uma matriz onde a terceira linha tem só o coeficiente de x_{3} não nulo; isso facilita a substituição reversa porque já isolamos x_{3} em cada sistema.]

Passo 5

Interpretação da terceira linha para os dois sistemas: a terceira linha representa a equação (para cada coluna de termos independentes)
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}= \text{(entrada na coluna de termos independentes)}.
Portanto:
  • Para o primeiro sistema (primeira coluna de termos independentes): \,x_{3}=1.
  • Para o segundo sistema (segunda coluna de termos independentes): \,x_{3}=-10.
Isto é a primeira substituição reversa — já encontramos x_{3} em ambos.

Passo 6

Agora usamos a segunda linha, que representa
0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+5\cdot x_{3}=7.
Isolando x_{2} obtemos a fórmula geral
x_{2}=7-5x_{3}.
Substituímos os valores de x_{3} encontrados no passo anterior:
  • Para o primeiro sistema (onde x_{3}=1):
x_{2}=7-5\cdot 1=7-5=2.
  • Para o segundo sistema (onde x_{3}=-10):
x_{2}=7-5\cdot(-10)=7+50=57.

Passo 7

Finalmente usamos a primeira linha, que representa
1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}-2\cdot x_{3}=1.
Isolando x_{1} temos a fórmula
x_{1}=1-2x_{2}+2x_{3}.
Agora substituímos os x_{2},x_{3} já encontrados:
  • Para o primeiro sistema ( x_{2}=2,\\ x_{3}=1):
x_{1}=1-2\cdot 2+2\cdot 1=1-4+2=-1.
  • Para o segundo sistema ( x_{2}=57,\\ x_{3}=-10):
x_{1}=1-2\cdot 57+2\cdot(-10)=1-114-20= -133.

Passo 8

Reunião final das soluções (organizadas em vetores coluna para cada sistema):
  • Solução do primeiro sistema:
\left(\begin{array}{c}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{array}\right).
  • Solução do segundo sistema:
\left(\begin{array}{c}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-133\\[4pt]57\\[4pt]-10\end{array}\right).]

Resposta

\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(-1,\,2,\,1)
\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(-133,\,57,\,-10)

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