Dado um sistema da forma
\begin{aligned} & -m_{1} x_{1}+x_{2}=b_{1} \\\ & -m_{2} x_{1}+x_{2}=b_{2} \end{aligned}
onde m_{1}, m_{2}, b_{1} e b_{2} são constantes,
(a) Mostre que o sistema terá uma única solução se m_{1} \neq m_{2}.
(b) Mostre que se m_{1}=m_{2} o sistema só será consistente se b_{1}=b_{2}.
(c) Dê uma interpretação geométrica das partes (a) e (b).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{aligned} & -m_{1} x_{1}+x_{2}=b_{1},\\\ & -m_{2} x_{1}+x_{2}=b_{2}, \end{aligned}
onde m_{1},m_{2},b_{1},b_{2} são constantes. O que se pede:
(a) mostrar que o sistema tem única solução se m_{1}\neq m_{2};
(b) mostrar que se m_{1}=m_{2} o sistema só é consistente (tem solução) quando b_{1}=b_{2};
(c) dar uma interpretação geométrica das partes (a) e (b).

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o sistema para eliminar uma variável. Subtraio a segunda equação da primeira (isso elimina x_{2}, porque o coeficiente de x_{2} é 1 em ambas):
(-m_{1}x_{1}+x_{2}) - (-m_{2}x_{1}+x_{2}) = b_{1}-b_{2}.
No lado esquerdo os termos x_{2} se cancelam, restando
(-m_{1}x_{1}) - (-m_{2}x_{1}) = b_{1}-b_{2}.
Simplificando os sinais obtemos
(m_{2}-m_{1})x_{1} = b_{1}-b_{2}.

Passo 3

Da igualdade (m_{2}-m_{1})x_{1}=b_{1}-b_{2} vemos que se m_{1}\neq m_{2} então m_{2}-m_{1}\neq0 e podemos dividir ambos os lados por m_{2}-m_{1}. Assim
x_{1} = \frac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Esta é a fórmula para x_{1} quando m_{1}\neq m_{2}. Explico a lógica: quando dividimos por um número não nulo estamos fazendo uma operação algebraica válida que isola x_{1}.

Passo 4

Agora encontramos x_{2} substituindo x_{1} em qualquer das equações originais. Usando a primeira:
x_{2} = b_{1} + m_{1}x_{1}.
Substituindo x_{1} obtemos
x_{2} = b_{1} + m_{1}\cdot\frac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Podemos simplificar isso para uma forma simétrica. Colocando em denominador comum:
x_{2} = \frac{b_{1}(m_{2}-m_{1}) + m_{1}(b_{1}-b_{2})}{m_{2}-m_{1}} = \frac{b_{1}m_{2} - m_{1}b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Portanto, quando m_{1}\neq m_{2} o sistema tem exatamente a solução
\left(x_{1},x_{2}\right) = \left(\dfrac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}},\; \dfrac{b_{1}m_{2}-m_{1}b_{2}}{m_{2}-m_{1}}\right).

Passo 5

Uma alternativa curta (útil de saber na prova) é ver o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é
\begin{pmatrix}-m_{1} & 1\\\\ -m_{2} & 1\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det = (-m_{1})\cdot 1 - 1\cdot(-m_{2}) = -m_{1}+m_{2}=m_{2}-m_{1}.
Pelo teorema dos sistemas lineares de 2\times2, se \det\neq0 (ou seja, m_{1}\neq m_{2}) existe exatamente uma solução. Isto confirma a dedução por eliminação.

Passo 6

Agora trato do caso m_{1}=m_{2}. Se m_{1}=m_{2} então ao subtrair as equações, como fiz antes, obtemos
(m_{2}-m_{1})x_{1} = b_{1}-b_{2}\quad\Longrightarrow\quad 0\cdot x_{1} = b_{1}-b_{2}.
Isto dá a condição 0 = b_{1}-b_{2}. Portanto só há esperança de consistência se b_{1}-b_{2}=0, i.e. b_{1}=b_{2}. Se b_{1}\neq b_{2} obtemos 0 = uma quantidade não nula, contradição: o sistema é inconsistente (não tem solução).

Passo 7

Se m_{1}=m_{2} e b_{1}=b_{2} então as duas equações são idênticas:
-m_{1}x_{1}+x_{2}=b_{1}
apenas repetida duas vezes. Nesse caso o sistema reduz-se a uma única equação com duas incógnitas, por isso existe infinitas soluções: podemos tomar x_{1}=t (parâmetro livre) e então
x_{2}=m_{1}t+b_{1},
para qualquer t\in\mathbb{R}. Ou seja, há uma reta inteira de soluções.

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Caso único: m_{1}=1,\\ m_{2}=2,\\ b_{1}=3,\\ b_{2}=4. Então
x_{1}=\frac{3-4}{2-1}=-1,\qquad x_{2}=1\cdot(-1)+3=2.
  • Caso infinitas soluções: m_{1}=m_{2}=1,\\ b_{1}=b_{2}=3. As equações são iguais e as soluções são (x_{1},x_{2}) com x_{2}=x_{1}+3.
  • Caso inconsistente: m_{1}=m_{2}=1,\\ b_{1}=3,\\ b_{2}=4. Subtração dá 0= -1, impossível; sem solução.

Passo 9

Conclusão e interpretação geométrica (prévia, eu explico melhor na parte dedicada): cada equação representa uma reta no plano (x_{1},x_{2}). As três situações correspondem a:
  • retas com inclinações diferentes intersectando num único ponto (solução única);
  • retas coincidentes (mesma reta) dando infinitas interseções (infinitas soluções);
  • retas paralelas distintas sem interseção (sem solução).

Resposta

(a) O sistema tem única solução quando m_{1}\neq m_{2}. A solução é
x_{1}=\dfrac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}},\qquad x_{2}=\dfrac{b_{1}m_{2}-m_{1}b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
(b) Se m_{1}=m_{2} o sistema é consistente somente se b_{1}=b_{2}. Se b_{1}=b_{2} há infinitas soluções dadas por x_{2}=m_{1}x_{1}+b_{1} (parâmetro x_{1}); se b_{1}\neq b_{2} o sistema é inconsistente (sem solução).
(c) Geometricamente: cada equação é uma reta x_{2}=m_{i}x_{1}+b_{i}. Se m_{1}\neq m_{2} as retas têm inclinações diferentes e se cruzam em um ponto (única solução). Se m_{1}=m_{2} e b_{1}=b_{2} as retas coincidem (infinitas soluções). Se m_{1}=m_{2} e b_{1}\neq b_{2} são retas paralelas distintas (nenhuma interseção, sistema inconsistente).

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