onde m_{1}, m_{2}, b_{1} e b_{2} são constantes,
(a) Mostre que o sistema terá uma única solução se m_{1} \neq m_{2}.
(b) Mostre que se m_{1}=m_{2} o sistema só será consistente se b_{1}=b_{2}.
(c) Dê uma interpretação geométrica das partes (a) e (b).
onde m_{1},m_{2},b_{1},b_{2} são constantes. O que se pede:
(a) mostrar que o sistema tem única solução se m_{1}\neq m_{2};
(b) mostrar que se m_{1}=m_{2} o sistema só é consistente (tem solução) quando b_{1}=b_{2};
(c) dar uma interpretação geométrica das partes (a) e (b).
Passo 2
Vamos manipular algebricamente o sistema para eliminar uma variável. Subtraio a segunda equação da primeira (isso elimina x_{2}, porque o coeficiente de x_{2} é 1 em ambas):
No lado esquerdo os termos x_{2} se cancelam, restando
(-m_{1}x_{1}) - (-m_{2}x_{1}) = b_{1}-b_{2}.
Simplificando os sinais obtemos
(m_{2}-m_{1})x_{1} = b_{1}-b_{2}.
Passo 3
Da igualdade (m_{2}-m_{1})x_{1}=b_{1}-b_{2} vemos que se m_{1}\neq m_{2} então m_{2}-m_{1}\neq0 e podemos dividir ambos os lados por m_{2}-m_{1}. Assim
x_{1} = \frac{b_{1}-b_{2}}{m_{2}-m_{1}}.
Esta é a fórmula para x_{1} quando m_{1}\neq m_{2}. Explico a lógica: quando dividimos por um número não nulo estamos fazendo uma operação algebraica válida que isola x_{1}.
Passo 4
Agora encontramos x_{2} substituindo x_{1} em qualquer das equações originais. Usando a primeira:
Pelo teorema dos sistemas lineares de 2\times2, se \det\neq0 (ou seja, m_{1}\neq m_{2}) existe exatamente uma solução. Isto confirma a dedução por eliminação.
Passo 6
Agora trato do caso m_{1}=m_{2}. Se m_{1}=m_{2} então ao subtrair as equações, como fiz antes, obtemos
Isto dá a condição 0 = b_{1}-b_{2}. Portanto só há esperança de consistência se b_{1}-b_{2}=0, i.e. b_{1}=b_{2}. Se b_{1}\neq b_{2} obtemos 0 = uma quantidade não nula, contradição: o sistema é inconsistente (não tem solução).
Passo 7
Se m_{1}=m_{2} e b_{1}=b_{2} então as duas equações são idênticas:
-m_{1}x_{1}+x_{2}=b_{1}
apenas repetida duas vezes. Nesse caso o sistema reduz-se a uma única equação com duas incógnitas, por isso existe infinitas soluções: podemos tomar x_{1}=t (parâmetro livre) e então
x_{2}=m_{1}t+b_{1},
para qualquer t\in\mathbb{R}. Ou seja, há uma reta inteira de soluções.
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
Caso único: m_{1}=1,\\ m_{2}=2,\\ b_{1}=3,\\ b_{2}=4. Então
Caso infinitas soluções: m_{1}=m_{2}=1,\\ b_{1}=b_{2}=3. As equações são iguais e as soluções são (x_{1},x_{2}) com x_{2}=x_{1}+3.
Caso inconsistente: m_{1}=m_{2}=1,\\ b_{1}=3,\\ b_{2}=4. Subtração dá 0= -1, impossível; sem solução.
Passo 9
Conclusão e interpretação geométrica (prévia, eu explico melhor na parte dedicada): cada equação representa uma reta no plano (x_{1},x_{2}). As três situações correspondem a:
retas com inclinações diferentes intersectando num único ponto (solução única);
(b) Se m_{1}=m_{2} o sistema é consistente somente se b_{1}=b_{2}. Se b_{1}=b_{2} há infinitas soluções dadas por x_{2}=m_{1}x_{1}+b_{1} (parâmetro x_{1}); se b_{1}\neq b_{2} o sistema é inconsistente (sem solução).
(c) Geometricamente: cada equação é uma reta x_{2}=m_{i}x_{1}+b_{i}. Se m_{1}\neq m_{2} as retas têm inclinações diferentes e se cruzam em um ponto (única solução). Se m_{1}=m_{2} e b_{1}=b_{2} as retas coincidem (infinitas soluções). Se m_{1}=m_{2} e b_{1}\neq b_{2} são retas paralelas distintas (nenhuma interseção, sistema inconsistente).