Considere um sistema formado por um bloco e um disco . o bloco B tem massa 10kg. O disco giratório tem 10kg, raio 10cm e está com uma velocidade angular 10 rads/s . Determine a energia cinética total do sistema , em Joules.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema com dois componentes: um bloco e um disco giratório. O bloco tem massa de 10 kg, e o disco também tem massa de 10 kg, com raio de 10 cm (que é 0,1 metros) e está girando a uma velocidade angular de 10 rad/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a energia cinética total desse sistema em Joules. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética tanto para movimento translacional (do bloco) quanto para movimento rotacional (do disco).

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a energia cinética total do sistema é a soma da energia cinética do bloco e da energia cinética do disco. A energia cinética translacional do bloco é dada por:
Ecin,trans = 12 m v^2
E a energia cinética rotacional do disco é:
Ecin,rot = 12 I omega^2
Onde:
  • $ m $ é a massa do bloco,
  • $ v $ é a velocidade do bloco,
  • $ I $ é o momento de inércia do disco,
  • $ \omega $ é a velocidade angular do disco.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas energias separadamente. Primeiro, precisamos saber se o bloco está se movendo ou não. Como o problema não especifica, vamos supor que o bloco está no perímetro do disco e está girando junto com ele. Assim, a velocidade do bloco $ v $ está relacionada à velocidade angular $ \omega $ pelo raio $ r $:
v
Substituindo os valores:
  • $ \omega = 10 , rad/s $
  • $ r = 0,1 , m $
Temos:
omega
Agora, vamos calcular a energia cinética translacional do bloco:
r

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional do disco. Primeiro, precisamos encontrar o momento de inércia $ I $ do disco. Para um disco sólido, o momento de inércia é:
I
Substituindo os valores:
  • $ m = 10 , kg $
  • $ r = 0,1 , m $
Temos:
I = 12 m r^2
Agora, calculamos a energia cinética rotacional:
m = 10 , kg

Resposta

Somando as duas energias cinéticas:
Ecin,total = Ecin,trans + Ecin,rot = 5 + 2,5 = 7,5 , J
Portanto, a energia cinética total do sistema é 7,5 Joules.

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