Considere o sistema formado por três blocos m1, m2 e m3 ligados por fios ideais que passam por polias ideais (sem atrito). O bloco m1 encontra-se sobre duas superficies horizontais e rugosas; o bloco m2 sobre um plano inclinado de ângulo
; o bloco m3 está pendurado verticalmente. Uma mola ideal, de constante elástica k, liga o bloco m1 ao suporte e fica alongada de x quando o sistema está em equillbrio estático.
As superficies de contato sob o bloco m1 são duas e
(ou seja,
). Ainda, assume-se que:
e
.
onde uß é o coeficiente de atrito entre m2 e o plano inclinado. Adote g para a aceleração da gravidade.
ITEM B (1,0 PONTO): Supondo que a mola rompa, demonstre a expressão do coeficiente de atrito
que permite o bloco m1 se deslocar com velocidade constante em função de
.
onde uß é o coeficiente de atrito entre m2 e o plano inclinado. Adote g para a aceleração da gravidade.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o coeficiente de atrito
que permite que o bloco
se desloque com velocidade constante depois que a mola rompe, em função do ângulo
.
Informações dadas (vou listar exatamente como estão no enunciado):
(onde
é o coeficiente de atrito entre
e o plano inclinado;
é o coeficiente de atrito nas duas superfícies sob
; adota-se
para a aceleração da gravidade).
Condição adicional: a mola rompe, portanto não atua na dinâmica; o sistema é formado por fios e polias ideais (tensão uniforme ao longo do mesmo fio) e queremos o caso em que os blocos se movem com velocidade constante (ou seja, aceleração nula).
Condição adicional: a mola rompe, portanto não atua na dinâmica; o sistema é formado por fios e polias ideais (tensão uniforme ao longo do mesmo fio) e queremos o caso em que os blocos se movem com velocidade constante (ou seja, aceleração nula).
Passo 2
Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (explicadinhas, sem pular etapas):
- Segunda lei de Newton (forma escalar) para movimento retilíneo/ao longo de uma direção: se a aceleração é nula, a soma das forças ao longo da direção considerada é zero. Em símbolos, para uma massa qualquer:
- Atrito cinético (quando há movimento): a força de atrito tem módulo
onde
é a força normal entre as superfícies e
o coeficiente de atrito cinético. Aqui usamos
para
e
para
.
3) Em polias e fios ideais (massa desprezível, sem atrito), a tensão é a mesma ao longo do fio (mesmo valor nas três massas ligadas pelo mesmo fio).
4) Componentes do peso: para um bloco sobre um plano inclinado de ângulo , a componente do peso paralela ao plano é
(puxa para baixo do plano) e a normal é
.
3) Em polias e fios ideais (massa desprezível, sem atrito), a tensão
4) Componentes do peso: para um bloco sobre um plano inclinado de ângulo
Vou aplicar estes princípios a cada bloco separadamente.
Passo 3
Forças e sentido presumido do movimento (explicando a escolha): suponha que
desce verticalmente e, por isso, puxa
para cima do plano e puxa
ao longo da superfície horizontal. Se o sistema se move com velocidade constante, cada bloco tem aceleração
. Em seguida escrevo as equações de equilíbrio (forças ao longo da direção do movimento) para cada bloco.
Bloco
(pendurado, direção vertical): as forças na direção vertical são o peso
para baixo e a tensão
para cima. Com
:
Bloco
(sobre superfícies horizontais, deslocando-se horizontalmente): o fio exerce uma tensão
que tende a arrastá-lo; o atrito resultante das duas superfícies o retarda. A normal total que sustenta
é
(as duas superfícies juntas suportam todo o peso), logo a força de atrito cinético total sobre
tem módulo
Como a aceleração é zero, somando forças ao longo da direção do movimento:
Bloco
(sobre o plano inclinado): a tensão
puxa-o para cima do plano; para baixo do plano atuam a componente do peso
e a força de atrito cinético cujo módulo é
Pelo enunciado
, então
. Como
, a soma das forças ao longo do plano é zero:
Passo 4
Igualando as expressões para
obtidas em cada bloco (lembre: tensão é a mesma em todo o fio):
Das equações de e
temos
Das equações de
Logo
Também da equação de
temos
Todas as expressões valem para o mesmo
, então podemos igualá-las. Primeiro cancelei
(não é zero) nas equações quando conveniente.
Usando
e a expressão de
para
, igualo:
Agora simplifico dividindo por
:
Passo 5
Isolando
passo a passo (álgebra bem explicada):
Coloco
em evidência:
Logo
Agora substituo os valores numéricos dados (
e
). Note que o fator
(massa base) aparece em numerador e denominador e cancela:
Podemos também multiplicar numerador e denominador por
para tirar o decimal do numerador se preferir:
que é algebraicamente equivalente.
Observação rápida (verificação de consistência): o denominador deve ser positivo para
positiva — isto corresponde a faixas de
fisicamente razoáveis em que o sistema realmente acelera no sentido assumido; a expressão acima é a que se pede.