As quatro ondas a seguir são produzidas em quatro cordas com a mesma massa específica linear ( x está em metros \mathrm{e} t em segundos). Ordene as ondas de acordo com a velocidade da onda:
(1) y_{1}=(3 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(x-3 t),
(2) y_{2}=(6 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(1 x-t),
(3) y_{3}=(1 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(4 x-t),
(4) y_{4}=(2 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(x-2 t).

Passo 1

O que o enunciado pede: ordenar as quatro ondas segundo a velocidade de propagação de cada uma. As informações dadas (repito exatamente cada onda):
y_{1}=(3\\ \mathrm{mm})\sin(x-3t)
y_{2}=(6\\ \mathrm{mm})\sin(1x-t)
y_{3}=(1\\ \mathrm{mm})\sin(4x-t)
y_{4}=(2\\ \mathrm{mm})\sin(x-2t)
Também foi informado que x está em metros e t em segundos. Nada mais foi pedido além de ordenar pelas velocidades.

Passo 2

Como identificar a velocidade a partir de uma expressão do tipo \sin(\cdot). Considere uma onda harmônica descrita por
y = A\sin(kx-\omega t).
Aqui:
  • A é a amplitude (unidades de comprimento, por ex. metros);
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m});
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}).
    A velocidade de fase (a velocidade com que uma crista se desloca) é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
Breve justificativa prática: para acompanhar uma mesma fase fixa, tomamos kx-\omega t=\text{const}. Derivando em relação a t obtemos k\frac{dx}{dt}-\omega=0, logo \frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}. Note que a amplitude A não aparece: a amplitude não altera a velocidade. Unidades conferem: (\mathrm{rad/s})/(\mathrm{rad/m})=\mathrm{m/s}.

Passo 3

Identificar k e \omega na primeira onda e calcular v_1. A primeira onda é
y_{1}=(3\\ \mathrm{mm})\sin(x-3t).
Comparando com A\sin(kx-\omega t) vemos k=1 (rad/m) e \omega=3 (rad/s). Então
v_{1}=\frac{\omega}{k}=\frac{3}{1}=3\\ \mathrm{m/s}.
(A amplitude 3\\ \mathrm{mm} é irrelevante para a velocidade.)

Passo 4

Fazer o mesmo para a segunda onda. A segunda onda é
y_{2}=(6\\ \mathrm{mm})\sin(1x-t).
Aqui k=1 e \omega=1. Logo
v_{2}=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{1}=1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para a terceira onda:
y_{3}=(1\\ \mathrm{mm})\sin(4x-t).
Temos k=4 e \omega=1. Então
v_{3}=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{4}=\tfrac{1}{4}\\ \mathrm{m/s}=0,25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Para a quarta onda:
y_{4}=(2\\ \mathrm{mm})\sin(x-2t).
Aqui k=1 e \omega=2. Portanto
v_{4}=\frac{\omega}{k}=\frac{2}{1}=2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Comparando os valores calculados:
v_{1}=3\\ \mathrm{m/s},\quad v_{4}=2\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2}=1\\ \mathrm{m/s},\quad v_{3}=0,25\\ \mathrm{m/s}.
Ordenando da maior para a menor velocidade fica: onda 1, depois 4, depois 2, depois 3. Vale lembrar: amplitudes em \mathrm{mm} não influenciaram esse ordenamento.

Resposta

(1)>(4)>(2)>(3)

Exercícios relacionados