Considere o sistema homogêneo abaixo. Determine uma base para o espaço solução e sua dimensão:
l x+y+z+w=0 x-y+z-w=0 2 x+y+3 z+w=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo em quatro incógnitas:
x+y+z+w=0, x-y+z-w=0, 2x+y+3z+w=0
O objetivo é encontrar o espaço solução (o núcleo da matriz de coeficientes) usando eliminação de Gauss, depois extrair uma base desse espaço e determinar sua dimensão (nullidade).

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes e aplicamos operações de linha para triangularizar:
1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 2 & 1 & 3 & 1
Fazendo L2>=ts L2-L1 e L3>=ts L3-2L1, obtemos
1 & 1 & 1 & 1 0 & -2 & 0 & -2 0 & -1 & 1 & -1

Passo 3

Dividimos L2 por -2 e eliminamos nas outras linhas:
  1. L2>=ts tfrac1-2L2 (0,1,0,1).
  2. L1>=ts L1-L2 e L3>=ts L3+L2.
    O resultado final é
1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0

Passo 4

As equações correspondentes são
x + z = 0, y + w = 0, z = 0
Daí z=0implies x=0, e y=-w. A única variável livre é w, que chamamos de parâmetro t.

Passo 5

Parametrizando por w=t, temos
(x,y,z,w) = (0,,-t,,0,,t) = t,(0,-1,0,1),
logo o espaço solução é o conjunto ,t,(0,-1,0,1)mid tinR.

Resposta

Base do espaço solução: (0,-1,0,1)
Dimensão do espaço solução: 1

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