Verifique se os vetores (1,2,-1),(3,0,2),(4,2,1) são linearmente independentes. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores (1,2,-1), (3,0,2) e (4,2,1) em R^3 são linearmente independentes. O conteúdo utilizado será a propriedade de que três vetores em R^3 são independentes se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como colunas for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são os vetores dados:
A = 1 & 3 & 4 2 & 0 & 2 -1 & 2 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A (por exemplo, pela regra de Sarrus):
det(A) =1,(0cdot1 - 2cdot2) -3,(2cdot1 - (-1)cdot2) +4,(2cdot2 - (-1)cdot0)
=1,(0-4)-3,(2+2)+4,(4-0) =-4-3cdot4+16 =-4-12+16 =0

Passo 4

Como det(A)=0, a matriz é singular e, portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores (1,2,-1), (3,0,2) e (4,2,1) são linearmente dependentes, pois o determinante da matriz formada por eles é zero.

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