Considere os vetores v1=(1,2,-1), v2=(2,4,-2), v3=(-1,-2,1). Escreva v=(3,6,-3) como combinação linear de v1, v2 e v3, ou justifique por que não é possível.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(1,2,-1), v2=(2,4,-2), v3=(-1,-2,1)
e pede para escrever v=(3,6,-3) como combinação linear de v1,v2,v3.
O conteúdo aqui é de espaços vetoriais e combinação linear: procuramos escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=v

Passo 2

Note que
v2=2,v1, v3=-1cdot v1
Isto mostra que v1,v2,v3 são todos múltiplos de v1, ou seja, geram uma reta em R^3.
Logo qualquer combinação alpha v1+beta v2+gamma v3 pode ser escrita como
alpha,v1+beta,(2v1)+gamma,(-v1) =(alpha+2beta-gamma),v1

Passo 3

Queremos
(alpha+2beta-gamma),v1=v=(3,6,-3)=3,v1
Logo basta que
alpha+2beta-gamma=3
Isso dá infinitas soluções; por exemplo, escolhendo beta=0 e gamma=0 obtemos alpha=3.

Resposta

v=(3,6,-3)=3,v1+0,v2+0,v3

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