Considere o sistema homogêneo de EDO
2.1-
Mostre que
e
são soluções do sistema homogêneo dado;
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) homogêneo representado por uma matriz. Nosso objetivo aqui é mostrar que duas funções específicas, chamadas
e
, realmente resolvem esse sistema. Para isso, vamos precisar entender como funciona a resolução de sistemas lineares de EDOs e como verificar se uma função é solução desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um sistema homogêneo de EDOs. No nosso caso, temos:
Isso quer dizer que a derivada da nossa função vetor
em relação ao tempo
é igual à matriz de coeficientes multiplicada por
. Para uma função ser solução desse sistema, ao calculamos
e multiplicar a matriz por
, os dois lados da equação devem ser iguais.
Passo 3
Vamos verificar primeiro para
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 4
Agora, multiplicamos a matriz de coeficientes por
:
Passo 5
Comparando
com a multiplicação da matriz por
, vemos que:
Então,
é de fato uma solução do sistema.
Passo 6
Agora, vamos fazer a mesma verificação para
.
Calculamos a derivada de
:
Passo 7
Multiplicamos a matriz de coeficientes por
:
Passo 8
Comparando
com a multiplicação da matriz por
, temos:
Assim,
também é uma solução do sistema.
Resposta
As funções
e
são, de fato, soluções do sistema homogêneo dado.