Considere o sistema homogêneo de EDO
X^prime=(ll 2 & 3 2 & 1 ) X
2.1-
Mostre que X1(t)=binom32 e^4 t e X2(t)=binom1-1 e^-t são soluções do sistema homogêneo dado;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) homogêneo representado por uma matriz. Nosso objetivo aqui é mostrar que duas funções específicas, chamadas e , realmente resolvem esse sistema. Para isso, vamos precisar entender como funciona a resolução de sistemas lineares de EDOs e como verificar se uma função é solução desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um sistema homogêneo de EDOs. No nosso caso, temos:
X' = 2 & 3 2 & 1 X
Isso quer dizer que a derivada da nossa função vetor em relação ao tempo é igual à matriz de coeficientes multiplicada por . Para uma função ser solução desse sistema, ao calculamos e multiplicar a matriz por , os dois lados da equação devem ser iguais.

Passo 3

Vamos verificar primeiro para 3 2 .
Primeiro, calculamos a derivada de X1'(t) = 3 2 cdot 4 e^4t = 12 8 e^4t :

Passo 4

Agora, multiplicamos a matriz de coeficientes por 2 & 3 2 & 1 3 2 e^4t = (2 cdot 3) + (3 cdot 2) (2 cdot 3) + (1 cdot 2) e^4t = 12 8 e^4t :

Passo 5

Comparando X1'(t) = 12 8 e^4t = 12 8 e^4t = 2 & 3 2 & 1 X1(t) com a multiplicação da matriz por , vemos que:
Então, é de fato uma solução do sistema.

Passo 6

Agora, vamos fazer a mesma verificação para 1 -1 .
Calculamos a derivada de X2'(t) = 1 -1 cdot (-1) e^-t = -1 1 e^-t :

Passo 7

Multiplicamos a matriz de coeficientes por 2 & 3 2 & 1 1 -1 e^-t = (2 cdot 1) + (3 cdot -1) (2 cdot 1) + (1 cdot -1) e^-t = -1 1 e^-t :

Passo 8

Comparando X2'(t) = -1 1 e^-t = -1 1 e^-t = 2 & 3 2 & 1 X2(t) com a multiplicação da matriz por , temos:
Assim, também é uma solução do sistema.

Resposta

As funções 3 2 e 1 -1 são, de fato, soluções do sistema homogêneo dado.

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