Em um açougue, o quilograma de frango custa R 6,00 e o de filé-mignon, R 15,00. Uma dona de casa adquiriu x quilos de frango e y quilos de filé-mignon, gastando R 99,00 . Sabe-se que x e y são números inteiros.
(c) Quais são as possíveis soluções desse problema?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as soluções inteiras:
  • O preço por quilo do frango é R\$6{,}00.
  • O preço por quilo do filé-mignon é R\$15{,}00.
  • A dona de casa comprou x quilos de frango e y quilos de filé-mignon, sendo x e y números inteiros.
  • O gasto total foi R\$99{,}00.
Pergunta: quais são todas as possíveis soluções inteiras (x,y) que satisfazem essas condições? (Assuma que não faz sentido comprar quilos negativos, ou seja, x\ge 0 e y\ge 0.)

Passo 2

Vamos traduzir o gasto total em uma equação. O custo total é 6 reais por quilo de frango vezes x quilos mais 15 reais por quilo de filé vezes y quilos, que deve dar 99. Portanto:
6x + 15y = 99

Passo 3

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 3 (porque 3 divide todos os coeficientes e o termo independente). Isso torna os números menores e facilita:
2x + 5y = 33
Explicação rápida: dividir por 3 é válido pois se 6x+15y é igual a 99, então cada termo é múltiplo de 3, e a igualdade permanece verdadeira ao dividir tudo por 3.

Passo 4

Isolamos x para obter uma expressão em função de y:
2x = 33 - 5y \quad\Rightarrow\quad x = \frac{33 - 5y}{2}.
Para que x seja inteiro, o numerador 33-5y precisa ser um número par. Aqui usamos um raciocínio simples de paridade (resto ao dividir por 2): 33 é ímpar, 5y tem a mesma paridade de y porque 5 é ímpar. Assim precisamos que
33 - 5y \equiv 0 \pmod{2}.
Como 33\equiv 1\pmod{2} e 5\equiv 1\pmod{2}, a congruência vira
1 - y \equiv 0 \pmod{2} \quad\Rightarrow\quad y \equiv 1 \pmod{2}.
Ou seja, y deve ser ímpar.

Passo 5

Além de y ser ímpar, precisamos que x\ge 0 e y\ge 0. Da expressão 2x = 33 - 5y temos 33 - 5y \ge 0, então
5y \le 33 \quad\Rightarrow\quad y \le \frac{33}{5} = 6{,}6.
Como y é inteiro e não-negativo, e precisa ser ímpar, as possibilidades para y são
y \in \{1,\,3,\,5\}.
(Valores ímpares maiores que 6 dão x<0; y=0 é par e não produz x inteiro.)

Passo 6

Agora calculamos x para cada valor possível de y.
Para y=1:
x = \frac{33 - 5\cdot 1}{2} = \frac{33-5}{2} = \frac{28}{2} = 14.
Para y=3:
x = \frac{33 - 5\cdot 3}{2} = \frac{33-15}{2} = \frac{18}{2} = 9.
Para y=5:
x = \frac{33 - 5\cdot 5}{2} = \frac{33-25}{2} = \frac{8}{2} = 4.

Passo 7

Verificação rápida: substituir cada par (x,y) na equação original 6x+15y=99.
Para (14,1):
6\cdot 14 + 15\cdot 1 = 84 + 15 = 99.
Para (9,3):
6\cdot 9 + 15\cdot 3 = 54 + 45 = 99.
Para (4,5):
6\cdot 4 + 15\cdot 5 = 24 + 75 = 99.
Todas satisfazem a equação e têm x\ge 0, y\ge 0. Não há outras soluções inteiras não-negativas porque já exploramos todas as paridades e o limite superior para y.

Resposta

(x,y)=(14,1)
(x,y)=(9,3)
(x,y)=(4,5)

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