Em um açougue, o quilograma de frango custa R 6,00 e o de filé-mignon, R 15,00. Uma dona de casa adquiriu
quilos de frango e
quilos de filé-mignon, gastando R 99,00 . Sabe-se que
e
são números inteiros.
(c) Quais são as possíveis soluções desse problema?
(c) Quais são as possíveis soluções desse problema?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as soluções inteiras:
- O preço por quilo do frango é
. - O preço por quilo do filé-mignon é
. - A dona de casa comprou
quilos de frango e quilos de filé-mignon, sendo e números inteiros. - O gasto total foi
.
Pergunta: quais são todas as possíveis soluções inteiras
que satisfazem essas condições? (Assuma que não faz sentido comprar quilos negativos, ou seja,
e
.)
Passo 2
Vamos traduzir o gasto total em uma equação. O custo total é
reais por quilo de frango vezes
quilos mais
reais por quilo de filé vezes
quilos, que deve dar
. Portanto:
Passo 3
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(porque
divide todos os coeficientes e o termo independente). Isso torna os números menores e facilita:
Explicação rápida: dividir por
é válido pois se
é igual a
, então cada termo é múltiplo de
, e a igualdade permanece verdadeira ao dividir tudo por
.
Passo 4
Isolamos
para obter uma expressão em função de
:
Para que
seja inteiro, o numerador
precisa ser um número par. Aqui usamos um raciocínio simples de paridade (resto ao dividir por
):
é ímpar,
tem a mesma paridade de
porque
é ímpar. Assim precisamos que
Como
e
, a congruência vira
Ou seja,
deve ser ímpar.
Passo 5
Além de
ser ímpar, precisamos que
e
. Da expressão
temos
, então
Como
é inteiro e não-negativo, e precisa ser ímpar, as possibilidades para
são
(Valores ímpares maiores que
dão
;
é par e não produz
inteiro.)
Passo 6
Agora calculamos
para cada valor possível de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Verificação rápida: substituir cada par
na equação original
.
Para
:
Para
:
Para
:
Todas satisfazem a equação e têm
,
. Não há outras soluções inteiras não-negativas porque já exploramos todas as paridades e o limite superior para
.