Considere o sistema homogêneo de equações lineares lx1^prime=x1-x2 x2^prime=-5 x1-3 x2
(a) Encontre os autovalores e os autovetores.

Passo 1

Temos um sistema linear homogêneo dado por x' = A x, onde
A = 1 & -1 -5 & -3
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores, e vamos precisar montar o polinômio característico de A e resolvê-lo para encontrar os autovalores.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, computamos
det(A - lambda I) = det1-lambda & -1 -5 & -3-lambda = (1-lambda)(-3-lambda) - (-1)(-5)
Expandindo, temos
(1-lambda)(-3-lambda) - 5 = lambda^2 + 2lambda - 8 = 0
Resolvendo lambda^2 + 2lambda - 8 = 0 por fatoração, obtemos
(lambda+4)(lambda-2)=0 Rightarrow lambda1 = 2, ; lambda2 = -4

Passo 3

Para cada autovalor, resolvemos (A-lambda I)v=0:
Para lambda1 = 2:
A - 2I = -1 & -1 -5 & -5,
impondo -v1 - v2 = 0 leva a v1 = -v2. Escolhendo v2 = 1, um autovetor é
v^(1) = -1 1
Para lambda2 = -4:
A + 4I = 5 & -1 -5 & 1,
impondo 5v1 - v2 = 0 leva a v2 = 5v1. Escolhendo v1 = 1, um autovetor é
v^(2) = 1 5

Passo 4

Revisamos que há dois autovalores distintos com seus respectivos autovetores não nulos, completando a resolução.

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = -4. Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
v^(1) = -11para lambda1=2,
v^(2) = 15para lambda2=-4

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