Considere o sistema homogêneo de equações lineares lx1^prime=x1-x2 x2^prime=-5 x1-3 x2
(b) Determine a solução geral.

Passo 1

O exercício pede a solução geral do sistema homogêneo de equações diferenciais lineares
x₁′=x₁−x₂,
x₂′=−5x₁−3x₂.
O conteúdo envolve sistemas lineares de EDO, autovalores e autovetores. Vamos escrever em forma matricial, encontrar os autovalores e autovetores de A e, por fim, montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial X′=A X, onde
A=1 & -1 -5 & -3,
e X(t)= x₁(t) x₂(t).

Passo 3

Para achar os autovalores de A, montamos o polinômio característico det(A−λI)=0:
detl(1-λ & -1 -5 & -3-λr) =(1-λ)(-3-λ)-(-1)(-5) =λ²+2λ-8=0 ²
Resolvendo, temos λ₁=2 e λ₂=−4.

Passo 4

Agora, para cada autovalor resolvemos (A−λI)v=0:
Para λ₁=2:
1-2 & -1 -5 & -3-2v=0 implies-1 & -1 -5 & -5v=0
Isso dá x₁+x₂=0, logo um autovetor é v₁= 1 -1.
Para λ₂=−4:
1+4 & -1 -5 & -3+4v=0 implies5 & -1 -5 & 1v=0
Isso dá 5x₁−x₂=0, logo um autovetor é v₂= 1 5.

Passo 5

As soluções fundamentais do sistema (lin. independentes) são
y1(t)=v1e^2t=1 -1e^2t, y2(t)=v2e^-4t=1 5e^-4t

Resposta

A solução geral do sistema é
x1(t) x2(t) = C11 -1e^2t + C21 5e^-4t

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