Considere o sistema homogêneo de equações lineares
(b) Determine a solução geral.
(b) Determine a solução geral.
Passo 1
O exercício pede a solução geral do sistema homogêneo de equações diferenciais lineares
x₁′=x₁−x₂,
x₂′=−5x₁−3x₂.
O conteúdo envolve sistemas lineares de EDO, autovalores e autovetores. Vamos escrever em forma matricial, encontrar os autovalores e autovetores de A e, por fim, montar a solução geral.
x₁′=x₁−x₂,
x₂′=−5x₁−3x₂.
O conteúdo envolve sistemas lineares de EDO, autovalores e autovetores. Vamos escrever em forma matricial, encontrar os autovalores e autovetores de A e, por fim, montar a solução geral.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial X′=A X, onde
e X(t)=
.
Passo 3
Para achar os autovalores de A, montamos o polinômio característico det(A−λI)=0:
Resolvendo, temos λ₁=2 e λ₂=−4.
Passo 4
Agora, para cada autovalor resolvemos (A−λI)v=0:
Para λ₁=2:
Para λ₁=2:
Isso dá x₁+x₂=0, logo um autovetor é v₁=
.
Para λ₂=−4:
Para λ₂=−4:
Isso dá 5x₁−x₂=0, logo um autovetor é v₂=
.
Passo 5
As soluções fundamentais do sistema (lin. independentes) são
Resposta
A solução geral do sistema é