Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y=raizx, y=raiz3 x-18 e y=0. Se f é uma função contínua arbitrária em D, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A em termos de integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2. ( c ) ache a região D, pelo teorema 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar a integral dupla sobre a região $ D $, que está delimitada pelas curvas $ y = \sqrt{x} $, $ y = \sqrt{3x - 18} $ e $ y = 0 $. A gente vai usar dois teoremas diferentes para escrever essa integral como integrais iteradas: o Teorema 1 e o Teorema 2. Também precisamos identificar exatamente qual é a região $ D $ usando o Teorema 1. Para isso, vamos precisar entender como as curvas se interceptam e descobrir os limites de integração para $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ D $. Temos três curvas: $ y = \sqrt{x} $, $ y = \sqrt{3x - 18} $ e $ y = 0 $. A curva $ y = 0 $ é simplesmente o eixo $ x $. Para descobrir onde as outras duas curvas se encontram, vamos igualar as duas expressões:
D
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
y = raizx
Resolvendo para $ x $:
y = raiz3x - 18
Então, as duas curvas se intersectam quando $ x = 9 $. Agora, vamos verificar os valores de $ y $ nesses pontos:
y = 0
Portanto, o ponto de interseção é $ (9, 3) $.

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região $ D $. A curva $ y = \sqrt{x} $ começa no ponto $ (0, 0) $ e passa por $ (9, 3) $. Já a curva $ y = \sqrt{3x - 18} $ só está definida quando $ 3x - 18 \geq 0 $, ou seja, $ x \geq 6 $. Então, essa curva começa em $ x = 6 $, onde $ y = 0 $, e vai até $ (9, 3) $.
A região $ D $ está, portanto, entre $ x = 6 $ e $ x = 9 $, abaixo das curvas $ y = \sqrt{x} $ e $ y = \sqrt{3x - 18} $, e acima do eixo $ y = 0 $.

Passo 4

Vamos agora expressar a integral dupla usando o Teorema 1. Esse teorema nos permite integrar primeiro em $ y $ e depois em $ x $. Para isso, precisamos determinar os limites de $ y $ para um dado $ x $.
Para cada $ x $ entre $ 6 $ e $ 9 $, $ y $ vai de $ 0 $ até a menor entre $ \sqrt{x} $ e $ \sqrt{3x - 18} $. Observando as curvas, vemos que de $ x = 6 $ a $ x = 9 $, $ \sqrt{3x - 18} $ está abaixo de $ \sqrt{x} $. Então, os limites para $ y $ são de $ 0 $ a $ \sqrt{3x - 18} $.
Portanto, a integral iterada pelo Teorema 1 fica:
y

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema 2, que nos permite inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $. Para isso, precisamos determinar os limites de $ x $ para um dado $ y $.
Observando a região $ D $, para cada $ y $ entre $ 0 $ e $ 3 $, $ x $ varia desde a curva $ y = \sqrt{x} $ até a curva $ y = \sqrt{3x - 18} $. Resolvendo cada equação para $ x $:
Para $ y = \sqrt{x} $:
x
Para $ y = \sqrt{3x - 18} $:
y
Então, os limites para $ x $ são de $ y^2 $ a $ \frac{y^2 + 18}{3} $.
Portanto, a integral iterada pelo Teorema 2 fica:
x

Resposta

A integral dupla sobre a região $ D $ pode ser expressa como integrais iteradas da seguinte forma:
(a) Usando o Teorema 1:
D
(b) Usando o Teorema 2:
integral duplaD f(x, y) , dA = integral6^9 integral0^raiz3x - 18 f(x, y) , dy , dx
© A região $ D $ está delimitada entre $ x = 6 $ e $ x = 9 $, abaixo das curvas $ y = \sqrt{3x - 18} $ e $ y = \sqrt{x} $, e acima do eixo $ y = 0 $.

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