Considere o sistema homogêneo de equações lineares
(d) Calcule a matriz exponencial
(Dica:
em que
é uma matriz fundamental).
(d) Calcule a matriz exponencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais lineares homogêneas:
E o que a gente precisa fazer é calcular a matriz exponencial
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares e a matriz exponencial, que é uma ferramenta poderosa para resolver sistemas de equações diferenciais. Vamos precisar entender como encontrar uma matriz fundamental
e como usar essa dica que nos foi dada:
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz
do sistema. As equações estão na forma
, então comparando com o nosso sistema:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz fundamental
. Para isso, vamos resolver as equações diferenciais para encontrar as soluções gerais
e
. Isso geralmente envolve encontrar os autovalores e autovetores de
.
Passo 4
Vamos calcular os autovalores de
. Para isso, resolvemos o determinante
:
Resolvendo
:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, encontramos os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvemos
:
Uma solução é
.
Para
:
Resolvemos
:
Uma solução é
.
Passo 6
Agora, escrevemos a matriz fundamental
usando os autovalores e autovetores encontrados:
Isso porque cada coluna de
é uma solução fundamental do sistema, construída a partir dos autovalores e autovetores.
Passo 7
Precisamos calcular
. Vamos substituir
na matriz fundamental:
Agora, calculamos a inversa de
:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a dica dada para encontrar a matriz exponencial
:
Multiplicando as matrizes:
Realizando a multiplicação:
Resposta
A matriz exponencial
é dada por: