Considere o sistema homogêneo de equações lineares lx1^prime=x1-x2 x2^prime=-5 x1-3 x2
(d) Calcule a matriz exponencial e^t A (Dica: e^t A=Phi(t) Phi^-1(0) em que Phi(t) é uma matriz fundamental).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais lineares homogêneas:
x1^prime = x1 - x2 x2^prime = -5x1 - 3x2
E o que a gente precisa fazer é calcular a matriz exponencial . O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares e a matriz exponencial, que é uma ferramenta poderosa para resolver sistemas de equações diferenciais. Vamos precisar entender como encontrar uma matriz fundamental e como usar essa dica que nos foi dada: .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A = 1 & -1 -5 & -3 do sistema. As equações estão na forma , então comparando com o nosso sistema:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz fundamental . Para isso, vamos resolver as equações diferenciais para encontrar as soluções gerais e . Isso geralmente envolve encontrar os autovalores e autovetores de .

Passo 4

Vamos calcular os autovalores de det 1 - lambda & -1 -5 & -3 - lambda = (1 - lambda)(-3 - lambda) - (-1)(-5) . Para isso, resolvemos o determinante = (-3 - lambda)(1 - lambda) - 5 :
= -3(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) - 5
= -3 + 3lambda - lambda + lambda^2 - 5
= lambda^2 + 2lambda - 8
lambda = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
lambda1 = 2 e lambda2 = -4
Resolvendo :
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, encontramos os autovetores correspondentes.
Para -1 & -1 -5 & -5 v = 0 :
Resolvemos 1 -1 :
5 & -1 -5 & 1 v = 0
Uma solução é 1 5 .
Para :
Resolvemos :
Uma solução é .

Passo 6

Agora, escrevemos a matriz fundamental Phi(t) = e^2t & e^-4t - e^2t & 5 e^-4t usando os autovalores e autovetores encontrados:
Isso porque cada coluna de é uma solução fundamental do sistema, construída a partir dos autovalores e autovetores.

Passo 7

Precisamos calcular Phi(0) = 1 & 1 -1 & 5 . Vamos substituir Phi^-1(0) = 1(1)(5) - (1)(-1) 5 & -1 1 & 1 na matriz fundamental:
= 15 + 1 5 & -1 1 & 1
Agora, calculamos a inversa de = 16 5 & -1 1 & 1 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a dica dada para encontrar a matriz exponencial e^tA = Phi(t) Phi^-1(0) :
e^tA = e^2t & e^-4t - e^2t & 5 e^-4t cdot 16 5 & -1 1 & 1
Multiplicando as matrizes:
e^tA = 16 5 e^2t + e^-4t & - e^2t + e^-4t -5 e^2t + 5 e^-4t & e^2t + 5 e^-4t
Realizando a multiplicação:

Resposta

A matriz exponencial e^tA = 16 5 e^2t + e^-4t & - e^2t + e^-4t -5 e^2t + 5 e^-4t & e^2t + 5 e^-4t é dada por:

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