Encontre a matriz fundamental de cada um dos sistemas x^prime=A x tendo como matriz de coeficientes cada uma das matrizes abaixo. Também encontre a solução particular satisfazendo a condição inicial.
(b) A=(ll2 & -3 3 & -4) ; x0=binom12

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais da forma A = 2 & -3 3 & -4 , onde 1 2 é a matriz dada:
Precisamos encontrar a matriz fundamental desse sistema e também a solução particular que satisfaça a condição inicial .
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz e construir a matriz fundamental a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A - lambda I = 2 - lambda & -3 3 & -4 - lambda . Os autovalores det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-4 - lambda) - (-3)(3) são encontrados resolvendo o determinante de , onde é a matriz identidade.
Então, calculamos:
O determinante disso é:

Passo 3

Vamos expandir o determinante:
(2 - lambda)(-4 - lambda) = 2*(-4) + 2*(-lambda) - lambda*(-4) - lambda*(-lambda) = -8 - 2lambda + 4lambda + lambda^2 = lambda^2 + 2lambda - 8
Então, o determinante completo fica:
lambda^2 + 2lambda - 8 + 9 = lambda^2 + 2lambda + 1
Portanto, a equação característica é:
lambda^2 + 2lambda + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 + 2lambda + 1 = 0 implies (lambda + 1)^2 = 0
Então, temos um autovalor múltiplo:
lambda = -1 com mu

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a A - (-1)I = A + I = 3 & -3 3 & -3 . Resolvemos 3v1 - 3v2 = 0 3v1 - 3v2 = 0 :
v1 = v2
Isso resulta no sistema:
v = 1 1
Podemos simplificar para:
Então, um autovetor pode ser escolhido como:

Passo 6

Como o autovalor (A - lambda I)w = v tem multiplicidade 2, mas apenas um autovetor independente, precisamos encontrar um vetor generalizado 3 & -3 3 & -3 w1 w2 = 1 1 tal que:
Ou seja:

Passo 7

Resolvendo o sistema acima:
3w1 - 3w2 = 1 3w1 - 3w2 = 1
Simplificando:
w1 - w2 = 13
Podemos escolher w1 = 13 , assim:
w = 13 0
Portanto, o vetor generalizado é:

Passo 8

Com os autovalores e os vetores Phi(t) = e^lambda t ( v w + tv ) = e^-t 1 & 13 + t 1 & t e , podemos construir a matriz fundamental . Como temos um autovalor com multiplicidade 2, a matriz fundamental é composta por:

Passo 9

Agora, temos a matriz fundamental:
Phi(t) = e^-t 1 & 13 + t 1 & t
Para encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial 1 2, usamos:
x(t) = Phi(t) c
Onde é o vetor de constantes a ser determinado.

Passo 10

Aplicando a condição inicial em Phi(0) = e^0 1 & 13 1 & 0 = 1 & 13 1 & 0 :
1 & 13 1 & 0 c1 c2 = 1 2
Então:
c1 + 13c2 = 1 c1 = 2
O que nos dá o sistema de equações:

Passo 11

Resolvendo o sistema:
c1 = 2 2 + 13c2 = 1 implies 13c2 = -1 implies c2 = -3
Portanto, o vetor c = 2 -3 é:

Passo 12

Substituindo x(t) = Phi(t) c = e^-t 1 & 13 + t 1 & t 2 -3 na solução geral:
x(t) = e^-t 2 + (-3)(13 + t) 2 + (-3)t = e^-t 2 -1 -3t 2 -3t
Calculando a multiplicação:
x(t) = e^-t 1 - 3t 2 - 3t
Simplificando:

Resposta

A matriz fundamental do sistema é:
Phi(t) = e^-t 1 & 13 + t 1 & t
E a solução particular que satisfaz a condição inicial 1 2 é:
x(t) = e^-t 1 - 3t 2 - 3t

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