Encontre a matriz fundamental de cada um dos sistemas
tendo como matriz de coeficientes cada uma das matrizes abaixo. Também encontre a solução particular satisfazendo a condição inicial.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais da forma
, onde
é a matriz dada:
Precisamos encontrar a matriz fundamental desse sistema e também a solução particular que satisfaça a condição inicial
.
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz
e construir a matriz fundamental a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante de
, onde
é a matriz identidade.
Então, calculamos:
O determinante disso é:
Passo 3
Vamos expandir o determinante:
Então, o determinante completo fica:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a
. Resolvemos
:
Isso resulta no sistema:
Podemos simplificar para:
Então, um autovetor pode ser escolhido como:
Passo 6
Como o autovalor
tem multiplicidade 2, mas apenas um autovetor independente, precisamos encontrar um vetor generalizado
tal que:
Ou seja:
Passo 7
Resolvendo o sistema acima:
Simplificando:
Podemos escolher
, assim:
Portanto, o vetor generalizado é:
Passo 8
Com os autovalores e os vetores
e
, podemos construir a matriz fundamental
. Como temos um autovalor com multiplicidade 2, a matriz fundamental é composta por:
Passo 9
Agora, temos a matriz fundamental:
Para encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial
, usamos:
Onde
é o vetor de constantes a ser determinado.
Passo 10
Aplicando a condição inicial em
:
Então:
O que nos dá o sistema de equações:
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Portanto, o vetor
é:
Passo 12
Substituindo
na solução geral:
Calculando a multiplicação:
Simplificando:
Resposta
A matriz fundamental do sistema é:
E a solução particular que satisfaz a condição inicial
é: