Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t \geqslant 0.)
\ddot{x}+4 x=\cos (2 t), x(0)=\dot{x}(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
\ddot{x}(t)+4\,x(t)=\cos(2t),\quad x(0)=0,\;\dot{x}(0)=0,
para t\ge0.
Conteúdo: transformada de Laplace de derivadas, transformada de \cos(2t), álgebra em s, inversão de Laplace.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\}+4\,\mathcal{L}\{x(t)\}=\mathcal{L}\{\cos(2t)\}.
Sabendo que
\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\}=s^2X(s)-s\,x(0)-\dot{x}(0), \quad \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^2+4},
e usando x(0)=0, \dot{x}(0)=0, obtemos
(s^2X(s)) +4X(s)=\frac{s}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad (s^2+4)\,X(s)=\frac{s}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad X(s)=\frac{s}{(s^2+4)^2}.

Passo 3

Precisamos encontrar x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}. Note que
\mathcal{L}\{t\sin(2t)\} =\frac{4\,s}{(s^2+4)^2}.
Logo
X(s)=\frac{s}{(s^2+4)^2} =\frac{1}{4}\,\frac{4s}{(s^2+4)^2} =\frac{1}{4}\,\mathcal{L}\{t\sin(2t)\},
de onde
x(t)=\frac{1}{4}\,t\sin(2t).

Passo 4

Verificação por substituição:
x(t)=\frac{1}{4}t\sin(2t),
\dot{x}(t) =\frac{1}{4}\bigl(\sin(2t)+2t\cos(2t)\bigr),
\ddot{x}(t) =\frac{1}{4}\bigl(2\cos(2t)+2\cos(2t)-4t\sin(2t)\bigr) =\cos(2t)-t\sin(2t).
Então
\ddot{x}(t)+4x(t) =\bigl(\cos(2t)-t\sin(2t)\bigr) +4\cdot\frac{1}{4}t\sin(2t) =\cos(2t),
e x(0)=0, \dot{x}(0)=0. Está confirmado.

Resposta

x(t)=\frac{1}{4}\,t\sin(2t).

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