Considere o sistema \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-2 x-2 y \\\ \dot{y}=4 x+2 y\end{array}\right.. (3,0 pontos)
a) Determine a solução geral.
b) Determine uma solução particular quando x(0)=1 e y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} \dot{x}=-2x-2y,\\[4pt] \dot{y}=4x+2y, \end{cases}
e pede duas coisas:
  • (a) determinar a solução geral do sistema;
  • (b) determinar a solução particular que satisfaz x(0)=1 e y(0)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes são constantes e podem ser organizados numa matriz A.
  • As incógnitas são as funções x(t) e y(t) dependentes do tempo t.]

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial. Definindo X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix}, temos
\dot{X}(t)=A\,X(t),
onde
A=\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.
Para sistemas lineares com coeficientes constantes, uma maneira eficiente de achar a solução geral é calcular os autovalores e autovetores da matriz A. Vou fazer isso passo a passo.]

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & -2\\[4pt]4 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Expandindo o determinante:
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)(2-\lambda)-(-2)\cdot 4.
Desenvolvendo:
(-2-\lambda)(2-\lambda)=(-2)(2)+(-2)(-\lambda)+(-\lambda)(2)+(-\lambda)(-\lambda)=-4+2\lambda-2\lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}-4.
Somando o segundo termo (porque -(-2)\cdot4=+8):
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-4+8=\lambda^{2}+4.
Logo o polinômio característico é \lambda^{2}+4.]

Passo 4

Resolvendo \lambda^{2}+4=0 obtemos os autovalores
\lambda=\pm 2i.
Comentário didático curto: autovalores puramente imaginários indicam soluções oscilatórias (senos e cossenos) sem crescimento ou decaimento exponencial, porque a parte real é zero.

Passo 5

Vamos determinar um autovetor associado a \lambda=2i. Devemos resolver (A-2iI)v=0. Escrevendo a matriz:
A-2iI=\begin{pmatrix}-2-2i & -2\\[4pt]4 & 2-2i\end{pmatrix}.
Tomando v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}, a primeira linha dá:
(-2-2i)v_1-2v_2=0.
Isolando v_2:
v_2=\frac{-2-2i}{2}\,v_1=(-1-i)v_1.
Escolhendo v_1=1 (podemos escalar o autovetor arbitrariamente), um autovetor correspondente é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-i\end{pmatrix}.
Agora separamos a parte real e imaginária do vetor v:
v=p+iq,\quad\text{onde}\quad p=\Re(v)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad q=\Im(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Regra prática (importante): se A tem um autovalor complexo \lambda=\alpha+i\omega com autovetor v=p+iq ( p,q reais), então duas soluções reais fundamentais são
u_1(t)=e^{\alpha t}\big(p\cos(\omega t)-q\sin(\omega t)\big),
u_2(t)=e^{\alpha t}\big(p\sin(\omega t)+q\cos(\omega t)\big).
No nosso caso \alpha=0 e \omega=2, portanto as duas soluções fundamentais reais são
u_1(t)=p\cos(2t)-q\sin(2t),
u_2(t)=p\sin(2t)+q\cos(2t).
Substituindo p e q:
u_1(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\cos(2t)-\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}\sin(2t) =\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[4pt]-\cos(2t)+\sin(2t)\end{pmatrix},
u_2(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\sin(2t)+\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}\cos(2t) =\begin{pmatrix}\sin(2t)\\[4pt]-\sin(2t)-\cos(2t)\end{pmatrix}.]

Passo 7

A solução geral real do sistema é combinação linear dessas duas soluções fundamentais:
X(t)=C_1 u_1(t)+C_2 u_2(t),
ou seja, em componentes,
x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
y(t)=C_1\big(\sin(2t)-\cos(2t)\big)+C_2\big(-\sin(2t)-\cos(2t)\big).
Podemos reorganizar y(t) se quiser, mas essa forma já é explícita e conveniente para aplicar condições iniciais.

Passo 8

Agora aplicamos as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=1.
Avaliar em t=0 (lembre que \cos 0=1, \sin 0=0) dá:
x(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1 = 1,
logo C_1=1.
Para y(0):
y(0)=C_1(0-1)+C_2(0-1)=-C_1-C_2.
Queremos y(0)=1, logo
- C_1 - C_2 = 1.
Substituindo C_1=1 obtemos -1 - C_2 = 1, portanto C_2=-2.

Passo 9

Substituindo C_1=1 e C_2=-2 nas fórmulas da solução, obtemos a solução particular:
x(t)=\cos(2t)-2\sin(2t),
y(t)=\big(\sin(2t)-\cos(2t)\big)\;+\;(-2)\big(-\sin(2t)-\cos(2t)\big).
Simplificando y(t):
y(t)=\sin(2t)-\cos(2t)+2\sin(2t)+2\cos(2t)=\cos(2t)+3\sin(2t).

Resposta

\displaystyle x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),\\ y(t)=C_1\big(\sin(2t)-\cos(2t)\big)+C_2\big(-\sin(2t)-\cos(2t)\big)
\displaystyle x(t)=\cos(2t)-2\sin(2t),\\ y(t)=\cos(2t)+3\sin(2t)

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