Considere o sistema
. (3,0 pontos)
a) Determine a solução geral.
b) Determine uma solução particular quando
e
.
a) Determine a solução geral.
b) Determine uma solução particular quando
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede duas coisas:
- (a) determinar a solução geral do sistema;
- (b) determinar a solução particular que satisfaz
e .
Informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes são constantes e podem ser organizados numa matriz
. - As incógnitas são as funções
e dependentes do tempo .]
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial. Definindo
, temos
onde
Para sistemas lineares com coeficientes constantes, uma maneira eficiente de achar a solução geral é calcular os autovalores e autovetores da matriz
. Vou fazer isso passo a passo.]
Passo 3
Calcular o polinômio característico de
:
Expandindo o determinante:
Desenvolvendo:
Somando o segundo termo (porque
):
Logo o polinômio característico é
.]
Passo 4
Resolvendo
obtemos os autovalores
Comentário didático curto: autovalores puramente imaginários indicam soluções oscilatórias (senos e cossenos) sem crescimento ou decaimento exponencial, porque a parte real é zero.
Passo 5
Vamos determinar um autovetor associado a
. Devemos resolver
. Escrevendo a matriz:
Tomando
, a primeira linha dá:
Isolando
:
Escolhendo
(podemos escalar o autovetor arbitrariamente), um autovetor correspondente é
Agora separamos a parte real e imaginária do vetor
:
Passo 6
Regra prática (importante): se
tem um autovalor complexo
com autovetor
(
reais), então duas soluções reais fundamentais são
No nosso caso
e
, portanto as duas soluções fundamentais reais são
Substituindo
e
:
Passo 7
A solução geral real do sistema é combinação linear dessas duas soluções fundamentais:
ou seja, em componentes,
Podemos reorganizar
se quiser, mas essa forma já é explícita e conveniente para aplicar condições iniciais.
Passo 8
Agora aplicamos as condições iniciais
e
.
Avaliar em (lembre que
,
) dá:
Avaliar em
logo
.
Para
:
Queremos
, logo
Substituindo
obtemos
, portanto
.
Passo 9
Substituindo
e
nas fórmulas da solução, obtemos a solução particular:
Simplificando
: