Os limites abaixo existem? Justifique sua resposta (e), em caso afirmativo, calcule o valor do limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x{3}}{x{4}+y^{2}}\right) \operatorname{sen}\left(x{2}+y{2}\right)
existe e, se existir, calcular o seu valor. As informações dadas são exatamente a expressão acima e o ponto de aproximação (0,0). Não há números adicionais nem figura.
Passo 2
Estratégia / ideias que vou usar (explicação didática):
Quando aparece \operatorname{sen}(x^{2}+y^{2}) perto de (0,0), é útil lembrar a desigualdade elementar \lvert\sin t\rvert\leq\lvert t\rvert para todo t. Aqui isso dará um fator \leq x^{2}+y^{2}, que tende a 0.
Para funções de duas variáveis é conveniente passar para coordenadas polares porque elas organizam bem a distância até a origem: definir r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \cos\theta=x/r, \sin\theta=y/r. Assim conseguimos expor a dependência explícita em r e controlar o comportamento quando r\to0.
Depois de usar \lvert\sin(\cdot)\rvert\leq(\cdot) e passar a polares, vou obter uma desigualdade do tipo \lvert\text{expressão}\rvert\leq C(r) com C(r)\to0. Isso mostra existência do limite por comparação (teorema do sanduíche/squeeze).
Agora vou mostrar que o lado direito tende a 0 quando r\to0, independentemente de \theta.
Passo 5
Análise por casos (para tornar a demonstração robusta e didática). Para r suficientemente pequeno consideramos duas possibilidades para o valor de \sin^{2}\theta em relação a r^{2}.
Então \cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta > 1-\tfrac{1}{2}r^{2}. Para r suficientemente pequeno (por exemplo 0<r<1) temos 1-\tfrac{1}{2}r^{2}\geq\tfrac{1}{2}, logo |\cos\theta|\geq\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim
Concluímos que, em ambos os casos (que cobrem todas as possibilidades), existe uma constante C tal que para r pequeno
\left|\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\sin(x^{2}+y^{2})\right|\le C r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), o lado direito tende a 0. Pelo teorema do confronto (squeeze), isso implica que a função original tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).