Os limites abaixo existem? Justifique sua resposta (e), em caso afirmativo, calcule o valor do limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x{3}}{x{4}+y^{2}}\right) \operatorname{sen}\left(x{2}+y{2}\right)

Passo 1

O enunciado pergunta se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\right)\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
existe e, se existir, calcular o seu valor. As informações dadas são exatamente a expressão acima e o ponto de aproximação (0,0). Não há números adicionais nem figura.

Passo 2

Estratégia / ideias que vou usar (explicação didática):
  • Quando aparece \operatorname{sen}(x^{2}+y^{2}) perto de (0,0), é útil lembrar a desigualdade elementar \lvert\sin t\rvert\leq\lvert t\rvert para todo t. Aqui isso dará um fator \leq x^{2}+y^{2}, que tende a 0.
  • Para funções de duas variáveis é conveniente passar para coordenadas polares porque elas organizam bem a distância até a origem: definir r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \cos\theta=x/r, \sin\theta=y/r. Assim conseguimos expor a dependência explícita em r e controlar o comportamento quando r\to0.
  • Depois de usar \lvert\sin(\cdot)\rvert\leq(\cdot) e passar a polares, vou obter uma desigualdade do tipo \lvert\text{expressão}\rvert\leq C(r)ã com C(r)\to0. Isso mostra existência do limite por comparação (teorema do sanduíche/squeeze).
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Mudança para coordenadas polares. Defino
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \sin\theta=\frac{y}{r},
para (x,y)\neq(0,0). Então x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Substituindo na expressão original:
\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\sin(x^{2}+y^{2}) = \frac{r^{3}\cos^{3}\theta}{r^{4}\cos^{4}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}\,\sin(r^{2}).
Fatorando r^{2} no denominador obtemos uma forma mais conveniente:
\frac{r^{3}\cos^{3}\theta}{r^{2}\bigl(r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta\bigr)}\,\sin(r^{2}) = r\; \frac{\cos^{3}\theta}{\,r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta\,}\;\sin(r^{2}).

Passo 4

Aplicando a desigualdade \lvert\sin t\rvert\leq\lvert t\rvert com t=r^{2} obtemos
\left|\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\sin(x^{2}+y^{2})\right| \leq r\; \frac{|\cos^{3}\theta|}{\,r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta\,}\;|\,\sin(r^{2})| \leq r\; \frac{|\cos^{3}\theta|}{\,r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta\,}\; r^{2}.
Ou seja
\left|\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\sin(x^{2}+y^{2})\right| \leq \frac{r^{3}|\cos^{3}\theta|}{\,r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta\,}.
Agora vou mostrar que o lado direito tende a 0 quando r\to0, independentemente de \theta.

Passo 5

Análise por casos (para tornar a demonstração robusta e didática). Para r suficientemente pequeno consideramos duas possibilidades para o valor de \sin^{2}\theta em relação a r^{2}.
Caso A: \sin^{2}\theta \geq \tfrac{1}{2}r^{2}.
Neste caso o denominador satisfaz
r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta \geq \sin^{2}\theta \geq \tfrac{1}{2}r^{2}.
Portanto
\frac{r^{3}|\cos^{3}\theta|}{\,r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta\,} \leq \frac{r^{3}}{\tfrac{1}{2}r^{2}}=2r,
que tende a 0 quando r\to0.
Caso B: \sin^{2}\theta < \tfrac{1}{2}r^{2}.
Então \cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta > 1-\tfrac{1}{2}r^{2}. Para r suficientemente pequeno (por exemplo 0<r<1) temos 1-\tfrac{1}{2}r^{2}\geq\tfrac{1}{2}, logo |\cos\theta|\geq\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim
r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta \ge r^{2}\cos^{4}\theta \ge r^{2}\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4} = \tfrac{1}{4}r^{2}.
Portanto, como antes,
\frac{r^{3}|\cos^{3}\theta|}{\,r^{2}\cos^{4}\theta + \sin^{2}\theta\,} \le \frac{r^{3}}{\tfrac{1}{4}r^{2}} = 4r,
que também tende a 0 quando r\to0.

Passo 6

Concluímos que, em ambos os casos (que cobrem todas as possibilidades), existe uma constante C tal que para r pequeno
\left|\frac{x^{3}}{x^{4}+y^{2}}\sin(x^{2}+y^{2})\right|\le C r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), o lado direito tende a 0. Pelo teorema do confronto (squeeze), isso implica que a função original tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

O limite existe e vale 0.

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