Resolva as equações abaixo da forma f(y / x). ( 2,0 pontos)
y^{\prime}=\frac{x+y}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
y'=\frac{x+y}{x}.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita como derivada de y em relação a x: y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • O lado direito é \dfrac{x+y}{x}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou escrever a solução na forma f(y/x), que sugere usar a razão \dfrac{y}{x}).
  • Atenção: qualquer manipulação que divida por x exige x\neq0; portanto a solução será para x\neq0.

Passo 2

Primeiro simplifico o lado direito para evidenciar a dependência em \dfrac{y}{x}:
\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}.
Ou seja, a equação fica
y'=1+\frac{y}{x}.
Isso mostra que o lado direito é uma função da razão \dfrac{y}{x} (mais um termo constante), o que sugere a substituição v=\dfrac{y}{x}. Vou agora explicar por que essa substituição é útil: se \,v=\dfrac{y}{x}\, então y fica expresso em termos de v e x, e a derivada y' pode ser escrita usando a regra do produto, transformando a equação numa forma que muitas vezes é mais fácil de integrar.

Passo 3

Faço a substituição
v=\frac{y}{x}.
Daqui segue
y=vx.
Agora aplico a regra do produto para calcular \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Explicando a regra do produto de forma direta: derivada de v(x)\cdot x é derivada de v vezes x mais v vezes derivada de x. Como a derivada de x é 1, obtemos v + x\,dv/dx.

Passo 4

Substituo \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{y}{x} na equação original:
v + x\frac{dv}{dx}=1+v.
Agora podemos simplificar: os termos v aparecem dos dois lados e se cancelam, sobrando
x\frac{dv}{dx}=1.
Esta é uma equação separável simples para v(x).

Passo 5

Separo e integro para encontrar v(x). Dividindo por x (lembre que x\neq0):
\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}.
Integro ambos os lados em relação a x:
\int dv=\int \frac{1}{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é v. A integral do lado direito é \ln|x| mais constante. Portanto
v=\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração real. Observação sobre o valor absoluto: a primitiva de 1/x é \ln|x|, válida para x\neq0.

Passo 6

Volto à variável original y usando y=vx:
y=x\left(\ln|x|+C\right)=x\ln|x|+Cx.
Assim encontramos a solução geral. Aqui C\in\mathbb{R} e a solução é válida para x\neq0.

Passo 7

Faço uma verificação rápida substituindo a solução na equação original para ficar seguro:
Calculo y' a partir de y=x\ln|x|+Cx.
Derivando:
\frac{d}{dx}\big(x\ln|x|\big)=\ln|x|+1, \qquad \frac{d}{dx}(Cx)=C.
Logo
y'=\ln|x|+1+C.
Por outro lado
\frac{x+y}{x}=\frac{x + x\ln|x| + Cx}{x}=1+\ln|x|+C,
que coincide com y'. Portanto a solução está correta.

Resposta

y=x\ln|x|+Cx,\quad C\in\mathbb{R},\\ x\neq0

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