Resolva as equações abaixo da forma
. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A equação está escrita como derivada de
em relação a : . - O lado direito é
. - O objetivo é encontrar a solução geral
(ou escrever a solução na forma , que sugere usar a razão ). - Atenção: qualquer manipulação que divida por
exige ; portanto a solução será para .
Passo 2
Primeiro simplifico o lado direito para evidenciar a dependência em
:
Ou seja, a equação fica
Isso mostra que o lado direito é uma função da razão
(mais um termo constante), o que sugere a substituição
. Vou agora explicar por que essa substituição é útil: se
então
fica expresso em termos de
e
, e a derivada
pode ser escrita usando a regra do produto, transformando a equação numa forma que muitas vezes é mais fácil de integrar.
Passo 3
Faço a substituição
Daqui segue
Agora aplico a regra do produto para calcular
:
Explicando a regra do produto de forma direta: derivada de
é derivada de
vezes
mais
vezes derivada de
. Como a derivada de
é
, obtemos
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original:
Agora podemos simplificar: os termos
aparecem dos dois lados e se cancelam, sobrando
Esta é uma equação separável simples para
.
Passo 5
Separo e integro para encontrar
. Dividindo por
(lembre que
):
Integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
mais constante. Portanto
onde
é a constante de integração real. Observação sobre o valor absoluto: a primitiva de
é
, válida para
.
Passo 6
Volto à variável original
usando
:
Assim encontramos a solução geral. Aqui
e a solução é válida para
.
Passo 7
Faço uma verificação rápida substituindo a solução na equação original para ficar seguro:
Calculo a partir de
.
Derivando:
Calculo
Derivando:
Logo
Por outro lado
que coincide com
. Portanto a solução está correta.