Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ( 3,0 pontos)
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}+\operatorname{sen} x \\\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Equação diferencial: \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}+\operatorname{sen}x.
  • Condição inicial: y(1)=1.
  • O objetivo: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser reorganizada em uma forma linear de primeira ordem.
  • A condição inicial está em x=1, ou seja, no ponto x>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão linear de primeira ordem. A forma padrão é
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções de x. A razão para fazer isso é que existe um método sistemático (fator integrante) para resolver esse tipo de equação.
Reescrevendo a equação dada:
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = \operatorname{sen}x.
Aqui identificamos p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=\operatorname{sen}x.

Passo 3

Calcular o fator integrante. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Substituindo p(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Como a condição inicial está em x=1>0, trabalhamos no intervalo onde x>0 e, portanto, podemos tomar \mu(x)=x. (Explicação: o valor absoluto não altera o cálculo quando se fixa o sinal de x.)

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x. Isso transforma a equação de forma que o lado esquerdo seja uma derivada total:
x\frac{dy}{dx} + y = x\operatorname{sen}x.
Reconhecemos a identidade do produto:
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\frac{dy}{dx}+y.
Assim a equação fica
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\operatorname{sen}x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo a integral da derivada dá xy. Do lado direito calculamos \displaystyle\int x\operatorname{sen}x\,dx usando integração por partes.
Fazer integração por partes com u=x e dv=\operatorname{sen}x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x\operatorname{sen}x\,dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
Calcular a última integral:
\int \cos x\,dx = \sin x.
Portanto
\int x\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Juntando o resultado da integração com o lado esquerdo:
xy = -x\cos x + \sin x + C.
Isolando y:
y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}.
Essa é a solução geral (no intervalo onde x\neq 0) com constante C a ser determinada pela condição inicial.

Passo 7

Impor a condição inicial y(1)=1 para encontrar C. Substituindo x=1 na expressão geral:
1 = y(1) = -\cos 1 + \frac{\sin 1}{1} + \frac{C}{1}.
Isolando C:
C = 1 + \cos 1 - \sin 1.

Passo 8

Substituir C obtido na expressão geral para escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{1 + \cos 1 - \sin 1}{x}.

Resposta

y(x)=-\cos x+\dfrac{\sin x}{x}+\dfrac{1+\cos 1-\sin 1}{x}

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