Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ( 3,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - O objetivo: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser reorganizada em uma forma linear de primeira ordem.
- A condição inicial está em
, ou seja, no ponto .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão linear de primeira ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções de
. A razão para fazer isso é que existe um método sistemático (fator integrante) para resolver esse tipo de equação.
Reescrevendo a equação dada:
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Calcular o fator integrante. O fator integrante
é dado por
Substituindo
:
Como a condição inicial está em
, trabalhamos no intervalo onde
e, portanto, podemos tomar
. (Explicação: o valor absoluto não altera o cálculo quando se fixa o sinal de
.)
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Isso transforma a equação de forma que o lado esquerdo seja uma derivada total:
Reconhecemos a identidade do produto:
Assim a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo a integral da derivada dá
. Do lado direito calculamos
usando integração por partes.
Fazer integração por partes com
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
:
Calcular a última integral:
Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 6
Juntando o resultado da integração com o lado esquerdo:
Isolando
:
Essa é a solução geral (no intervalo onde
) com constante
a ser determinada pela condição inicial.
Passo 7
Impor a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
na expressão geral:
Isolando
:
Passo 8
Substituir
obtido na expressão geral para escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial: