Considere o sistema \left[\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\\ x_{2}^{\prime}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 4 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right].
(a) Verifique que X^{1}(t)=\left[\begin{array}{c}e^{3 t} \\\\ 2 e^{3 t}\end{array}\right] e X^{2}(t)=\left[\begin{array}{c}e^{-t} \\\\ -2 e^{-t}\end{array}\right] são soluções do sistema.
(b) Calcule o Wronskiano W\left[X^{1}, X^{2}\right].
(c) O conjunto \left\{X^{1}(t), X^{2}(t)\right\} é um conjunto fundamental de soluções? Por que?
(d) Determine a solução geral do sistema.
são soluções;
– (b) calcular o Wronskiano W[X^{1},X^{2}];
– (c) decidir se \{X^{1},X^{2}\} é um conjunto fundamental;
– (d) escrever a solução geral.
O conteúdo usado será derivação de vetores, multiplicação matricial, definição de Wronskiano e superposição linear.
Passo 2
Vamos checar que X^{1}(t) satisfaz X' = AX. Primeiro calcule
(a) Verificamos diretamente que \frac{d}{dt}X^{1}=AX^{1} e \frac{d}{dt}X^{2}=AX^{2}.
(b) W[X^{1},X^{2}](t)=-4e^{2t}.
(c) Sim, pois o Wronskiano é não nulo para todo t, logo são independentes.
(d)