Considere o sistema \left[\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\\ x_{2}^{\prime}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 4 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right].
(a) Verifique que X^{1}(t)=\left[\begin{array}{c}e^{3 t} \\\\ 2 e^{3 t}\end{array}\right] e X^{2}(t)=\left[\begin{array}{c}e^{-t} \\\\ -2 e^{-t}\end{array}\right] são soluções do sistema.
(b) Calcule o Wronskiano W\left[X^{1}, X^{2}\right].
(c) O conjunto \left\{X^{1}(t), X^{2}(t)\right\} é um conjunto fundamental de soluções? Por que?
(d) Determine a solução geral do sistema.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}
e pede:
– (a) verificar que
X^{1}(t)=\begin{pmatrix}e^{3t}\\\ 2e^{3t}\end{pmatrix}, \quad X^{2}(t)=\begin{pmatrix}e^{-t}\\\ -2e^{-t}\end{pmatrix}
são soluções;
– (b) calcular o Wronskiano W[X^{1},X^{2}];
– (c) decidir se \{X^{1},X^{2}\} é um conjunto fundamental;
– (d) escrever a solução geral.
O conteúdo usado será derivação de vetores, multiplicação matricial, definição de Wronskiano e superposição linear.

Passo 2

Vamos checar que X^{1}(t) satisfaz X' = AX. Primeiro calcule
\frac{d}{dt}X^{1}(t) =\begin{pmatrix}3e^{3t}\\\ 6e^{3t}\end{pmatrix}.
Por outro lado,
A\,X^{1}(t) =\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{3t}\\\ 2e^{3t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{3t}+2e^{3t}\\\ 4e^{3t}+2e^{3t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3e^{3t}\\\ 6e^{3t}\end{pmatrix}.
Logo X^{1\prime}=AX^{1}. De modo análogo, para X^{2}(t):
\frac{d}{dt}X^{2}(t) =\begin{pmatrix}-e^{-t}\\\ 2e^{-t}\end{pmatrix}, \quad A\,X^{2}(t) =\begin{pmatrix}e^{-t}-2e^{-t}\\\ 4e^{-t}-2e^{-t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-e^{-t}\\\ 2e^{-t}\end{pmatrix},
confirmando X^{2\prime}=AX^{2}.

Passo 3

O Wronskiano é
W[X^{1},X^{2}](t) =\det\bigl[X^{1}(t)\;\;X^{2}(t)\bigr] =\det\begin{pmatrix}e^{3t}&e^{-t}\\\ 2e^{3t}&-2e^{-t}\end{pmatrix} =e^{3t}(-2e^{-t})-e^{-t}(2e^{3t}) =-2e^{2t}-2e^{2t} =-4e^{2t}.

Passo 4

Como W[X^{1},X^{2}](t)=-4e^{2t}\neq0 para todo t, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Passo 5

Pela superposição linear, a solução geral é
X(t)=C_{1}X^{1}(t)+C_{2}X^{2}(t) =C_{1}\begin{pmatrix}e^{3t}\\\ 2e^{3t}\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}e^{-t}\\\ -2e^{-t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}\\\\ 2C_{1}e^{3t}-2C_{2}e^{-t} \end{pmatrix}.

Resposta

(a) Verificamos diretamente que \frac{d}{dt}X^{1}=AX^{1} e \frac{d}{dt}X^{2}=AX^{2}.
(b) W[X^{1},X^{2}](t)=-4e^{2t}.
(c) Sim, pois o Wronskiano é não nulo para todo t, logo são independentes.
(d)
X(t)=C_{1}\begin{pmatrix}e^{3t}\\\ 2e^{3t}\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}e^{-t}\\\ -2e^{-t}\end{pmatrix}.

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