O potencial elétrico
em certas placas é dado por
e uma partícula encontra-se no ponto
e
.
(i) Encontre o valor do potencial
e diga se ele cresce ou decresce na direção do vetor
? Justifique.
(ii) Indique, neste ponto, em qual direção no plano
o potencial cresce mais rapidamente, e qual o valor dessa taxa de crescimento.
(iii) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico do potencial no ponto
.
(i) Encontre o valor do potencial
(ii) Indique, neste ponto, em qual direção no plano
(iii) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico do potencial no ponto
Passo 1
O enunciado fornece o potencial elétrico
e pede:
(i) o valor e se
cresce ou decresce na direção de
;
(ii) a direção de crescimento mais rápido no ponto e a taxa máxima;
(iii) a equação do plano tangente ao gráfico de em
.
Para isso, vamos usar derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e equação de plano tangente.
(i) o valor
(ii) a direção de crescimento mais rápido no ponto
(iii) a equação do plano tangente ao gráfico de
Para isso, vamos usar derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e equação de plano tangente.
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas parciais de
e avaliamos em
.
Avaliando:
Logo,
Passo 3
Para (i), a derivada direcional de
na direção
é
Como
, o potencial decresce nessa direção.
Passo 4
Para (ii), o potencial cresce mais rapidamente na direção do gradiente
. A direção unitária é
e a taxa máxima de crescimento é
Passo 5
Para (iii), a equação do plano tangente em
é
Substituindo,
Resposta
(i)
e
, logo o potencial decresce em
.
(ii) Direção de máximo crescimento , taxa máxima
.
(iii) Plano tangente .
(ii) Direção de máximo crescimento
(iii) Plano tangente