O potencial elétrico V(x, y) em certas placas é dado por
V(x, y)=\frac{x^{3}}{3+y^{2}}
e uma partícula encontra-se no ponto x_{0}=2 e y=-1.
(i) Encontre o valor do potencial z_{0}=V(x_{0}, y_{0}) e diga se ele cresce ou decresce na direção do vetor \vec{u}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j} ? Justifique.
(ii) Indique, neste ponto, em qual direção no plano (x, y) o potencial cresce mais rapidamente, e qual o valor dessa taxa de crescimento.
(iii) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico do potencial no ponto (x_{0}, y_{0}, z_{0}).

Passo 1

O enunciado fornece o potencial elétrico
V(x,y) = \frac{x^3}{3+y^2}
e pede:
(i) o valor z_0 = V(2,-1) e se V cresce ou decresce na direção de \vec u = \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr);
(ii) a direção de crescimento mais rápido no ponto (2,-1) e a taxa máxima;
(iii) a equação do plano tangente ao gráfico de V em (2,-1, z_0).
Para isso, vamos usar derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e equação de plano tangente.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de V e avaliamos em (2,-1).
\frac{\partial V}{\partial x}(x,y) = \frac{3x^2}{3+y^2}
\frac{\partial V}{\partial y}(x,y) = -\frac{2y\,x^3}{(3+y^2)^2}
Avaliando:
V(2,-1) = \frac{2^3}{3+(-1)^2} = \frac{8}{4} = 2,
\frac{\partial V}{\partial x}(2,-1) = \frac{3\cdot2^2}{3+1} = \frac{12}{4} = 3, \quad \frac{\partial V}{\partial y}(2,-1) = -\frac{2(-1)\,2^3}{(3+1)^2} = \frac{16}{16} = 1.
Logo,
\nabla V(2,-1) = (3,\,1).

Passo 3

Para (i), a derivada direcional de V na direção \vec u é
D_{\vec u}V(2,-1) = \nabla V(2,-1)\cdot\vec u = (3,1)\cdot\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr) = -\frac{3}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2} = -\frac{2}{\sqrt2} = -\sqrt2.
Como D_{\vec u}V(2,-1)<0, o potencial decresce nessa direção.

Passo 4

Para (ii), o potencial cresce mais rapidamente na direção do gradiente \nabla V. A direção unitária é
\frac{\nabla V(2,-1)}{\|\nabla V(2,-1)\|} = \frac{(3,1)}{\sqrt{3^2+1^2}} = \frac{(3,1)}{\sqrt{10}},
e a taxa máxima de crescimento é
\|\nabla V(2,-1)\| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}.

Passo 5

Para (iii), a equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0)=(2,-1,2) é
z = z_0 + \frac{\partial V}{\partial x}(2,-1)\,(x-2) + \frac{\partial V}{\partial y}(2,-1)\,(y+1).
Substituindo,
z = 2 + 3\,(x-2) + 1\,(y+1) = 2 + 3x -6 + y +1 = 3x + y -3.

Resposta

(i) z_0 = 2 e D_{\vec u}V(2,-1) = -\sqrt{2}<0, logo o potencial decresce em \vec u.
(ii) Direção de máximo crescimento \bigl(3,1\bigr)/\sqrt{10}, taxa máxima \sqrt{10}.
(iii) Plano tangente z = 3x + y - 3.

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