Questão 4 (2.5 pontos) Suponha
e
funções reais contínuas no intervalo
com
. Mostre que
para algum
.
Sugestão: Use os resultados:
a) Se
é continua em
, entấo
é limitada superiormente e inferiormente, ou seja, existem
tais que
com
e
;
b) TVI - Se
é contínua em
e
, então existe
tal que
;
a) Se
b) TVI - Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções contínuas
e
em
com
para todo
, existe
tal que
O tema é o teorema do valor médio para integrais com peso. Vamos usar: (a) que
atinge mínimo
e máximo
em
; (b) Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Passo 2
Como
é contínua em
, pelos resultados de Weierstrass existem pontos
tais que
e para todo
vale
Passo 3
Multiplicando essa desigualdade por
obtemos
Passo 4
Integramos a desigualdade em
:
Como
e
são constantes, isso vira
Passo 5
Como
, temos
. Dividindo tudo por
segue
Defina
Então
.
Passo 6
Pelo TVI, como
está entre
e
e
é contínua em
, existe
tal que
Passo 7
Voltando à definição de
, temos
como desejado.
Resposta
Mostramos que existe
tal que