Questão 4 (2.5 pontos) Suponha f e g funções reais contínuas no intervalo [a, b] com g(x)>0, \forall x \in[a, b]. Mostre que \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(z) \int_{a}^{b} g(x) d x para algum z \in[a, b].
Sugestão: Use os resultados:
a) Se f é continua em [\mathrm{a}, \mathrm{b}], entấo f é limitada superiormente e inferiormente, ou seja, existem m, M tais que m<f(x)< M, \forall x \in[a, b] com m=f(u) e M=f(v);
b) TVI - Se f é contínua em [a, b] e w \in(f(a), f(b)), então existe c \in[a, b] tal que f\text{(c)}=w;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções contínuas f e g em [a,b] com g(x)>0 para todo x, existe z\in[a,b] tal que
\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx \;=\; f(z)\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx.
O tema é o teorema do valor médio para integrais com peso. Vamos usar: (a) que f atinge mínimo m e máximo M em [a,b]; (b) Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], pelos resultados de Weierstrass existem pontos u,v\in[a,b] tais que
m = f(u) \quad\text{e}\quad M = f(v)
e para todo x\in[a,b] vale
m \;\le\; f(x)\;\le\; M.

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por g(x)>0 obtemos
m\,g(x)\;\le\;f(x)\,g(x)\;\le\;M\,g(x), \quad\forall x\in[a,b].

Passo 4

Integramos a desigualdade em [a,b]:
\int_{a}^{b}m\,g(x)\,dx \;\le\;\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx \;\le\;\int_{a}^{b}M\,g(x)\,dx.
Como m e M são constantes, isso vira
m\int_{a}^{b}g(x)\,dx \;\le\; \int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx \;\le\; M\int_{a}^{b}g(x)\,dx.

Passo 5

Como g>0, temos \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,dx>0. Dividindo tudo por \int_{a}^{b}g(x)\,dx segue
m \;\le\; \frac{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx} {\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,dx} \;\le\;M.
Defina
W \;=\;\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx} {\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,dx}.
Então m\le W\le M.

Passo 6

Pelo TVI, como W está entre m=f(u) e M=f(v) e f é contínua em [a,b], existe z\in[a,b] tal que
f(z) = W.

Passo 7

Voltando à definição de W, temos
f(z) = \frac{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx} {\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,dx} \quad\Longrightarrow\quad \int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx = f(z)\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx,
como desejado.

Resposta

Mostramos que existe z\in[a,b] tal que
\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx = f(z)\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx.

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