Questão 1 ( 2.5 pontos) Calcule a seguinte Integral indefinida:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}\,dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição para integrais envolvendo uma função composta do tipo (1 - x^{3})^{n}. Vamos usar a substituição apropriada para simplificar o radicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - x^{3}.
Então, derivando em relação a x, temos
du = -3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Note que \sqrt{1 - x^{3}} = \sqrt{u} = u^{1/2}. Logo,
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}\,dx = \int \frac{x^{2}}{u^{1/2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{1/2}}\bigl(x^{2}\,dx\bigr) = \int u^{-1/2}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\,du\Bigr).

Passo 4

Fatorando a constante, obtemos
\int u^{-1/2}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du.
Aplicando a regra de potência \displaystyle\int u^{m}\,du = \frac{u^{m+1}}{m+1} para m = -\tfrac12, temos
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2 + 1}}{-\tfrac12 + 1} = \frac{u^{1/2}}{\tfrac12} = 2\,u^{1/2}.
Portanto,
-\tfrac{1}{3}\int u^{-1/2}\,du = -\tfrac{1}{3}\bigl(2\,u^{1/2}\bigr) = -\tfrac{2}{3}\,u^{1/2}.

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que u = 1 - x^{3}. Assim, a primitiva é
-\tfrac{2}{3}\,\sqrt{u} + C = -\tfrac{2}{3}\,\sqrt{1 - x^{3}} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}\,dx = -\tfrac{2}{3}\,\sqrt{1 - x^{3}} + C.

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