Questão 3, (Valor 2,0)
Calcule:
\operatorname{det}\left(A^{-1} B^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \det\!\left(A^{-1} B^{2}\right).
Informações/pressupostos explícitos e implícitos que vou usar (porque são necessárias para a expressão fazer sentido):
  • A e B são matrizes quadradas da mesma ordem n\times n.
  • A presença de A^{-1} implica que A é invertível (ou seja, \det(A)\neq0). Se A não for invertível, então A^{-1} não existe e a expressão não está definida.
  • Não é preciso conhecer as entradas de A e B para expressar \det\!\left(A^{-1} B^{2}\right) em termos de \det(A) e \det(B).

Passo 2

Vou lembrar e explicar, de forma didática, as propriedades de determinante que vou usar — são ferramentas padrão e muito úteis na prova.
Propriedade 1 (multiplicatividade):
\det(XY)=\det(X)\det(Y)
para quaisquer matrizes quadradas X e Y da mesma ordem. Intuição: o determinante mede o fator de escala de volume de uma transformação linear; aplicar Y e depois X escala o volume por \det(Y) e depois por \det(X), totalizando o produto.
Propriedade 2 (determinante da inversa):
\det(X^{-1})=\bigl(\det(X)\bigr)^{-1},
para X invertível. Isso vem de \det(X X^{-1})=\det(I)=1 e da multiplicatividade, logo \det(X)\det(X^{-1})=1.
Propriedade 3 (potência de matriz):
\det\bigl(X^{k}\bigr)=\bigl(\det(X)\bigr)^{k}
para inteiro k\ge0. Isso segue por repetição da multiplicatividade: \det(X^k)=\det(X\cdot X^{k-1})=\det(X)\det(X^{k-1}), etc.
Essas três propriedades são suficientes para manipular \det\!\left(A^{-1} B^{2}\right).

Passo 3

Aplicando a multiplicatividade da determinante:
\det\!\left(A^{-1} B^{2}\right)=\det\!\left(A^{-1}\right)\,\det\!\left(B^{2}\right).
Agora uso a propriedade da inversa para \det(A^{-1}):
\det\!\left(A^{-1}\right)=\bigl(\det(A)\bigr)^{-1}.
E uso a propriedade da potência para \det(B^{2}):
\det\!\left(B^{2}\right)=\bigl(\det(B)\bigr)^{2}.

Passo 4

Juntando os resultados das contas anteriores:
\det\!\left(A^{-1} B^{2}\right)=\bigl(\det(A)\bigr)^{-1}\,\bigl(\det(B)\bigr)^{2}.
Ou, de forma equivalente,
\det\!\left(A^{-1} B^{2}\right)=\frac{\bigl(\det(B)\bigr)^{2}}{\det(A)}.
Observações importantes para a prova: não é preciso calcular A^{-1} nem B^{2} em termos de entradas para obter a determinante; basta conhecer \det(A) e \det(B). Lembre-se que \det(A) tem de ser diferente de zero para que A^{-1} exista; se \det(B)=0 então a determinante final pode ser zero.

Passo 5

Exemplo numérico rápido (para fixar): tome
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Então \det(A)=2\cdot3=6 e \det(B)=1. Pela fórmula,
\det\!\left(A^{-1} B^{2}\right)=\frac{1^{2}}{6}=\frac{1}{6}.
Verificação direta (rápida): B^{2}=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt]0 & 1/3\end{pmatrix}. Multiplicando e computando a determinante dá mesmo 1/6.]

Resposta

\det\!\left(A^{-1} B^{2}\right)=\bigl(\det(A)\bigr)^{-1}\,\bigl(\det(B)\bigr)^{2}=\dfrac{\bigl(\det(B)\bigr)^{2}}{\det(A)}

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