Questão 3, (Valor 2,0)
Calcule:
Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações/pressupostos explícitos e implícitos que vou usar (porque são necessárias para a expressão fazer sentido):
-
e são matrizes quadradas da mesma ordem . - A presença de
implica que é invertível (ou seja, ). Se não for invertível, então não existe e a expressão não está definida. - Não é preciso conhecer as entradas de
e para expressar em termos de e .
Passo 2
Vou lembrar e explicar, de forma didática, as propriedades de determinante que vou usar — são ferramentas padrão e muito úteis na prova.
Propriedade 1 (multiplicatividade):
para quaisquer matrizes quadradas
e
da mesma ordem. Intuição: o determinante mede o fator de escala de volume de uma transformação linear; aplicar
e depois
escala o volume por
e depois por
, totalizando o produto.
Propriedade 2 (determinante da inversa):
para
invertível. Isso vem de
e da multiplicatividade, logo
.
Propriedade 3 (potência de matriz):
para inteiro
. Isso segue por repetição da multiplicatividade:
, etc.
Essas três propriedades são suficientes para manipular
.
Passo 3
Aplicando a multiplicatividade da determinante:
Agora uso a propriedade da inversa para
:
E uso a propriedade da potência para
:
Passo 4
Juntando os resultados das contas anteriores:
Ou, de forma equivalente,
Observações importantes para a prova: não é preciso calcular
nem
em termos de entradas para obter a determinante; basta conhecer
e
. Lembre-se que
tem de ser diferente de zero para que
exista; se
então a determinante final pode ser zero.
Passo 5
Exemplo numérico rápido (para fixar): tome
Então
e
. Pela fórmula,
Verificação direta (rápida):
,
. Multiplicando e computando a determinante dá mesmo
.]