Considere o sistema linear abaixo (nas variáveis x, y, z ):
ccc x+y+z & = & 2 2 x+3 y+2 z & = & 6 2 x+3 y+(a^2-(2)) z & = & a+8
Para quais valores de a esse sistema é impossível? Resposta: a= square

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear em (x,y,z) que depende do parâmetro a:
x + y + z = 2, 2x + 3y + 2z = 6, 2x + 3y + l(a^2 - 2r)z = a + 8
O conteúdo é teoria de sistemas lineares paramétricos. Para ver quando o sistema é impossível, vamos comparar as posições de matrizes dos coeficientes e aumentada, usando o determinante da matriz dos coeficientes para identificar casos singulares e então verificar inconsistência.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
M = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 2 & 3 & a^2 - 2
Usando expansão pela primeira linha,
det M = 1cdotl(3(a^2-2)-2cdot3r) -1cdotl(2(a^2-2)-2cdot2r) +1cdot(2cdot3-3cdot2)
Isso dá
det M = l(3a^2-6-6r);-;(2a^2-4-4);+;0 =3a^2-12-2a^2+8 =a^2-4 =(a-2)(a+2)
Logo a matriz é singular exatamente para a=2 ou a=-2.

Passo 3

Precisamos agora verificar, nesses casos singulares, se o sistema fica inconsistente.
  • Para a=2, temos a^2-2=2 e a terceira equação vira 2x+3y+2z = a+8 = 10, enquanto a segunda é 2x+3y+2z = 6 Mesma combinação de x,y,z dando resultados diferentes ( 6 e 10), logo inconsistente.
  • Para a=-2, também a^2-2=2, mas agora a terceira equação é 2x+3y+2z = -2+8 = 6, que coincide exatamente com a segunda. Nesse caso o sistema é possível (infinitas soluções).
Portanto o sistema é impossível apenas quando a=2.

Resposta

a = 2

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