Seja V=R^4. Verifique se o subconjunto W de V é subespaço. Justifique sua resposta.
W=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0 e z+t=0.

Passo 1

O enunciado define V=R^4 e o subconjunto
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x+y=0 e z+t=0
Queremos verificar se W é subespaço de V usando a definição: contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero está em W. O vetor zero em R^4 é (0,0,0,0). Como
0+0=0 e 0+0=0,
segue que (0,0,0,0)in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Suponha
u=(x1,y1,z1,t1)in W e v=(x2,y2,z2,t2)in W
Então x1+y1=0, z1+t1=0, x2+y2=0 e z2+t2=0. No vetor soma
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2),
temos
(x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)=0+0=0
e
(z1+z2)+(t1+t2)=(z1+t1)+(z2+t2)=0+0=0
Logo u+vin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e
u=(x,y,z,t)in W
com x+y=0 e z+t=0. No vetor
alpha u = (alpha x,alpha y,alpha z,alpha t),
temos
alpha x + alpha y = alpha(x+y) = alphacdot0 = 0 e alpha z + alpha t = alpha(z+t) = alphacdot0 = 0
Assim alpha uin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^4.

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