Considere o sistema linear abaixo (nas variáveis x, y, z ):
ccc x+y+z & = & 2 2 x+3 y+2 z & = & 6 2 x+3 y+(a^2-(2)) z & = & a+8
Para quais valores de a esse sistema possui infinitas soluções? Resposta: a= square

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em
Queremos os valores de (i.e.\ o determinante deve ser zero) e o sistema deve ser consistente (posto ampliado igual ao posto de coeficientes).

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 2 & 3 & a^2-2
Usando desenvolvimento na primeira linha:
det A =1cdotdet3&23&a^2-2 -1cdotdet2&22&a^2-2 +1cdotdet2&32&3
Calculando cada menor:
det3&23&a^2-2 =3(a^2-2)-2cdot3=3a^2-12,
det2&22&a^2-2 =2(a^2-2)-2cdot2=2a^2-8,
det2&32&3 =2cdot3-3cdot2=0
Logo
det A = (3a^2-12)-(2a^2-8)+0 = a^2-4

Passo 3

O determinante anula-se quando
a^2-4=0 Longrightarrow a=pm2
Nesses valores o posto de A cai para 2 ou menos. Agora precisamos verificar a consistência do sistema (posto ampliado igual a 2).

Passo 4

Para a=2 temos a^2-2=2 e a+8=10. As duas últimas equações ficam
2x+3y+2z = 6, 2x+3y+2z = 10,
que são contraditórias. Portanto para a=2 não há solução, logo também não há infinitas soluções.

Passo 5

Para a=-2 temos a^2-2=2 e a+8=6. As duas últimas equações se reduzem a
2x+3y+2z = 6, 2x+3y+2z = 6,
ou seja, são idênticas. Assim o sistema tem apenas duas equações independentes para três incógnitas, garantindo infinitas soluções.

Resposta

a = -2

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