Considere o sistema linear abaixo (nas variáveis
):
Para quais valores de
a esse sistema possui infinitas soluções? Resposta:
a=
square
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear em
Queremos os valores de (i.e.\ o determinante deve ser zero) e o sistema deve ser consistente (posto ampliado igual ao posto de coeficientes).
Passo 2
Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
Usando desenvolvimento na primeira linha:
Calculando cada menor:
Logo
Passo 3
O determinante anula-se quando
Nesses valores o posto de
A cai para
2 ou menos. Agora precisamos verificar a consistência do sistema (posto ampliado igual a
2 ).
Passo 4
Para
a=2 temos
a^2-2=2 e
a+8=10 . As duas últimas equações ficam
que são contraditórias. Portanto para
a=2 não há solução, logo também não há infinitas soluções.
Passo 5
Para
a=-2 temos
a^2-2=2 e
a+8=6 . As duas últimas equações se reduzem a
ou seja, são idênticas. Assim o sistema tem apenas duas equações independentes para três incógnitas, garantindo infinitas soluções.