Exercício 19. Considere as seguintes três bases de R^3 :
l B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1)
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
(1) [T]B^C é a matriz 3 times 3 identidade.
Calcule [T]D^C

Passo 1

O enunciado fornece as bases
B=b1=(1,1,0),,b2=(1,0,1),,b3=(0,1,1), C=c1=(1,1,-1),,c2=(1,-1,1),,c3=(-1,1,1), D=d1=(1,3,0),,d2=(0,1,0),,d3=(2,2,1)
e a transformação linear T tal que [T]B^C=I3. Isso significa que T(bi)=ci para i=1,2,3. Precisamos encontrar [T]D^C.

Passo 2

Por definição, a matriz [T]D^C tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(dj) na base C. Como T é linear e se escrevemos
dj=alpha1j,b1+alpha2j,b2+alpha3j,b3,
então
T(dj)=alpha1j,T(b1)+alpha2j,T(b2)+alpha3j,T(b3) =alpha1j,c1+alpha2j,c2+alpha3j,c3,
logo (alpha1j,alpha2j,alpha3j)^T é a coluna j de [T]D^C.

Passo 3

Expressão de
Isso gera o sistema
Resolvendo, obtemos (\alpha_{11}=2,;\alpha_{21}=-1,;\alpha_{31}=1].

Passo 4

Expressão de d2=(0,1,0) em B:
alpha12+alpha22=0, alpha12+alpha32=1, alpha22+alpha32=0
Daí alpha12=tfrac12,;alpha22=-tfrac12,;alpha32=tfrac12.

Passo 5

Expressão de d3=(2,2,1) em B:
alpha13+alpha23=2, alpha13+alpha33=2, alpha23+alpha33=1
Resolvendo, vem alpha13=tfrac32,;alpha23=tfrac12,;alpha33=tfrac12.

Passo 6

As colunas de [T]D^C são os vetores
(alpha11,alpha21,alpha31),; (alpha12,alpha22,alpha32),; (alpha13,alpha23,alpha33)
encontrados acima.

Resposta

[T]D^C = 2 & tfrac12 & tfrac32 -1 & -tfrac12 & tfrac12 1 & tfrac12 & tfrac12

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