Considere o sistema linear abaixo:
Verifique se o sistema linear dado satisfaz o critério de linhas e o de Sassenfeld. Se não, faça as permutações necessárias para que os critérios sejam satisfeitos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares:
O objetivo é verificar se esse sistema satisfaz o critério de linhas (que normalmente se refere à dominância diagonal) e o critério de Sassenfeld. Se não satisfizer, a gente tem que rearrumar as equações para que os critérios sejam atendidos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre esses critérios e como aplicá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o critério de linhas, ou seja, a dominância diagonal. Esse critério diz que, para cada equação do sistema, o módulo do coeficiente da variável principal (diagonal) deve ser maior ou igual à soma dos módulos dos outros coeficientes da mesma equação. Isso ajuda na convergência de métodos iterativos como o de Jacobi.
Então, vamos reescrever o sistema na forma matricial para facilitar:
Agora, vamos verificar a dominância diagonal para cada equação:
- Primeira equação: Coeficiente da variável principal (x) é -1. A soma dos outros coeficientes é |10| + |-2| = 12.
→ Não satisfaz.|-1| < 12 - Segunda equação: Coeficiente da variável principal (y) é -1. A soma dos outros coeficientes é |0| + |10| = 10.
→ Não satisfaz.|-1| < 10 - Terceira equação: Coeficiente da variável principal (x) é 10. A soma dos outros coeficientes é |-1| + |0| = 1.
→ Satisfaz.|10| > 1
Então, o sistema original não satisfaz o critério de linhas nas duas primeiras equações.
Passo 3
Agora vamos para o critério de Sassenfeld. Esse critério é um pouco mais complexo, mas basicamente envolve calcular alguns valores auxiliares chamados de $ \beta_i $ para cada equação, garantindo que todos sejam menores que 1.
A fórmula para $ \beta_i $ é:
Onde:
- $ a_{ii} $ é o coeficiente da variável principal na i-ésima equação.
- $ a_{ij} $ são os outros coeficientes.
Vamos aplicar isso ao nosso sistema rearranjado:
Vamos calcular $ \beta_1, \beta_2 $ e $ \beta_3 $:
- Para $ \beta_1 $:
Já que $ \beta_1 = 12 $, que é maior que 1, não satisfaz o critério de Sassenfeld.
Isso confirma que o sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld também.
Passo 4
Como o sistema original não atende nem ao critério de linhas nem ao de Sassenfeld, precisamos rearrumar as equações para tentar satisfazer pelo menos um dos critérios.
Vamos tentar rearranjar as equações para garantir a dominância diagonal. Uma boa estratégia é colocar a equação com maior coeficiente na diagonal primeiro. Olhando para as equações:
- Equação 3:
→ Coeficiente de x é 10.10x - y = 9 - Equação 1:
→ Coeficiente de x é -1.-x + 10y - 2z = 7 - Equação 2:
→ Coeficiente de y é -1.-y + 10z = 6
Vamos rearranjar a ordem das equações para:
- Equação 3
- Equação 1
- Equação 2
Então, o sistema fica:
Passo 5
Agora, vamos verificar novamente o critério de linhas com essa nova ordem:
- Nova Equação 1: Coeficiente de x é 10. Soma dos outros coeficientes: | -1 | + |0| = 1.
→ Satisfaz.|10| > 1 - Nova Equação 2: Coeficiente de y é 10. Soma dos outros coeficientes: | -1 | + | -2 | = 3.
→ Satisfaz.|10| > 3 - Nova Equação 3: Coeficiente de z é 10. Soma dos outros coeficientes: | -1 | = 1.
→ Satisfaz.|10| > 1
Agora, todas as equações satisfazem a dominância diagonal! Então, após a permutação, o sistema atende ao critério de linhas.
Resposta
Após rearrumar as equações, o sistema satisfaz o critério de linhas com a seguinte ordem: