Considere o sistema linear abaixo:
Calcule pelo método de Gauss-Seidel, com precisão r -x+10 y-2 z=7 -y+10 z=6 10 x-y=9 e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações. Vamos precisar manipular as equações para isolar cada variável e, em seguida, fazer iterações partindo de uma estimativa inicial até que a precisão desejada seja alcançada. No nosso caso, a precisão é de varepsilon = 0,1 e começamos com x^0 = [0, 0, 0].

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema para isolar uma das variáveis. Isso facilita as atualizações nas iterações do método de Gauss-Seidel.
Dado o sistema:
r - x + 10 y - 2 z = 7 - y + 10 z = 6 10 x - y = 9
Vamos isolar cada variável:
  1. Isolando x na primeira equação:
- x + 10 y - 2 z = 7 implies x = 10 y - 2 z - 7
  1. Isolando y na segunda equação:
- y + 10 z = 6 implies y = 10 z - 6
  1. Isolando x na terceira equação para usar na atualização:
10 x - y = 9 implies x = y + 910

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações do método de Gauss-Seidel. A ideia é usar os valores mais recentes das variáveis para atualizar cada uma delas sequencialmente.
Iteração 1:
  • Atualizando x^1:
x^1 = 10 y^0 - 2 z^0 - 7 = 10 times 0 - 2 times 0 - 7 = -7
  • Atualizando y^1:
y^1 = 10 z^0 - 6 = 10 times 0 - 6 = -6
  • Atualizando x^1 novamente usando a terceira equação:
x^1 = y^1 + 910 = -6 + 910 = 0,3
Como ainda estamos nas primeiras atualizações, precisamos continuar iterando.
Iteração 2:
  • Atualizando x^2:
x^2 = 10 y^1 - 2 z^1 - 7
Mas primeiro, precisamos calcular z^1 usando a segunda equação. Já que y^1 = -6, vamos usar a terceira equação para achar z^1:
y^1 = 10 z^1 - 6 implies -6 = 10 z^1 - 6 implies z^1 = 0
Então,
x^2 = 10 times (-6) - 2 times 0 - 7 = -60 - 0 - 7 = -67
  • Atualizando y^2:
y^2 = 10 z^1 - 6 = 10 times 0 - 6 = -6
  • Atualizando x^2 novamente:
x^2 = y^2 + 910 = -6 + 910 = 0,3
Observamos que os valores não estão convergindo ainda, então vamos para a próxima iteração.
Iteração 3:
  • Atualizando x^3:
x^3 = 10 y^2 - 2 z^2 - 7
Primeiro, calculamos z^2:
y^2 = 10 z^2 - 6 implies -6 = 10 z^2 - 6 implies z^2 = 0
Então,
x^3 = 10 times (-6) - 2 times 0 - 7 = -60 - 0 - 7 = -67
  • Atualizando y^3:
y^3 = 10 z^2 - 6 = 10 times 0 - 6 = -6
  • Atualizando x^3 novamente:
x^3 = y^3 + 910 = -6 + 910 = 0,3
Vemos que os valores estão se estabilizando, com x e y permanecendo em 0,3 e -6, respectivamente, e z fixo em 0. Como a diferença entre as iterações é menor que a precisão varepsilon = 0,1, podemos encerrar as iterações.

Resposta

Após as iterações, a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com precisão $ \varepsilon = 0,1 $ é:
varepsilon = 0,1

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