Calcule pelo método de Gauss-Seidel, com precisão e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações. Vamos precisar manipular as equações para isolar cada variável e, em seguida, fazer iterações partindo de uma estimativa inicial até que a precisão desejada seja alcançada. No nosso caso, a precisão é de e começamos com .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema para isolar uma das variáveis. Isso facilita as atualizações nas iterações do método de Gauss-Seidel.
Dado o sistema:
Vamos isolar cada variável:
Isolando x na primeira equação:
- x + 10 y - 2 z = 7 implies x = 10 y - 2 z - 7
Isolando y na segunda equação:
- y + 10 z = 6 implies y = 10 z - 6
Isolando x na terceira equação para usar na atualização:
10 x - y = 9 implies x = y + 910
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações do método de Gauss-Seidel. A ideia é usar os valores mais recentes das variáveis para atualizar cada uma delas sequencialmente.
x^3 = 10 times (-6) - 2 times 0 - 7 = -60 - 0 - 7 = -67
Atualizando y^3:
y^3 = 10 z^2 - 6 = 10 times 0 - 6 = -6
Atualizando x^3 novamente:
x^3 = y^3 + 910 = -6 + 910 = 0,3
Vemos que os valores estão se estabilizando, com x e y permanecendo em 0,3 e -6, respectivamente, e z fixo em 0. Como a diferença entre as iterações é menor que a precisão varepsilon = 0,1, podemos encerrar as iterações.
Resposta
Após as iterações, a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com precisão $ \varepsilon = 0,1 $ é: