Considere o sistema linear
Determine os valores de a para que o sistema tenha:
(b) infinitas soluçães e determine o conjunto solução do sistema;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado nos pede para encontrar os valores de a que fazem com que o sistema tenha infinitas soluções e também determinar qual é esse conjunto de soluções. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações e condições para que eles tenham infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações da seguinte maneira:
x + y - a z = 1 2x + 2y + (a^2+1) z = 3 x + (a+1) y + 2 z = 3
Queremos encontrar os valores de a que deixam esse sistema com infinitas soluções. Para isso, vamos começar montando a matriz aumentada do sistema e depois usar o método de redução para encontrar as condições necessárias.
Vamos usar operações elementares para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar se há dependência entre as equações, o que indica infinitas soluções.
Passo 4
Vamos eliminar o x das segunda e terceira equações usando a primeira equação:
Para a segunda equação, subtraímos 2 vezes a primeira equação:
Para a terceira equação, subtraímos a primeira equação:
x + (a+1)y + 2z - (x + y - a z) = 3 - 1 x - x + (a+1)y - y + 2z + a z = 2 a y + (2 + a) z = 2
Agora, nosso sistema fica:
x + y - a z = 1 (a^2 + 2a + 1) z = 1 a y + (2 + a) z = 2
Passo 5
Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que haja dependência entre as equações, ou seja, que alguma equação possa ser escrita como combinação linear das outras. Observando a segunda equação (a^2 + 2a + 1) z = 1 , podemos notar que para valores de a que tornam o coeficiente de z igual a zero, a equação se torna 0 = 1 , o que é impossível. Portanto, precisamos resolver a^2 + 2a + 1 = 0 :
a^2 + 2a + 1 = 0 (a + 1)^2 = 0 a = -1
Passo 6
Vamos verificar para a = -1 :
Substituindo a = -1 nas equações:
x + y - (-1) z = x + y + z = 1
(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 , então a segunda equação fica 0z = 1 , que é impossível.
Mas isso significa que, para a = -1 , o sistema não tem solução. Portanto, não há valores de a que façam o sistema ter infinitas soluções.
Resposta
Não existem valores de a que tornam o sistema dado com infinitas soluções. Para todo valor de a , o sistema possui uma única solução ou nenhuma solução.