Considere o sistema linear
cx+y-a z=1 2 x+2 y+(a^2+1) z=3 x+(a+1) y+2 z=3
Determine os valores de a para que o sistema tenha:
(b) infinitas soluçães e determine o conjunto solução do sistema;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado nos pede para encontrar os valores de a que fazem com que o sistema tenha infinitas soluções e também determinar qual é esse conjunto de soluções. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações e condições para que eles tenham infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações da seguinte maneira:
x + y - a z = 1 2x + 2y + (a^2+1) z = 3 x + (a+1) y + 2 z = 3
Queremos encontrar os valores de a que deixam esse sistema com infinitas soluções. Para isso, vamos começar montando a matriz aumentada do sistema e depois usar o método de redução para encontrar as condições necessárias.

Passo 3

A matriz aumentada do sistema é:
1 & 1 & -a & | & 1 2 & 2 & a^2+1 & | & 3 1 & a+1 & 2 & | & 3
Vamos usar operações elementares para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar se há dependência entre as equações, o que indica infinitas soluções.

Passo 4

Vamos eliminar o x das segunda e terceira equações usando a primeira equação:
  • Para a segunda equação, subtraímos 2 vezes a primeira equação:
2x + 2y + (a^2+1)z - 2(x + y - a z) = 3 - 2 cdot 1 2x + 2y + a^2z + z - 2x - 2y + 2a z = 3 - 2 (a^2 + 2a + 1)z = 1
  • Para a terceira equação, subtraímos a primeira equação:
x + (a+1)y + 2z - (x + y - a z) = 3 - 1 x - x + (a+1)y - y + 2z + a z = 2 a y + (2 + a) z = 2
Agora, nosso sistema fica:
x + y - a z = 1 (a^2 + 2a + 1) z = 1 a y + (2 + a) z = 2

Passo 5

Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que haja dependência entre as equações, ou seja, que alguma equação possa ser escrita como combinação linear das outras. Observando a segunda equação (a^2 + 2a + 1) z = 1 , podemos notar que para valores de a que tornam o coeficiente de z igual a zero, a equação se torna 0 = 1 , o que é impossível. Portanto, precisamos resolver a^2 + 2a + 1 = 0 :
a^2 + 2a + 1 = 0 (a + 1)^2 = 0 a = -1

Passo 6

Vamos verificar para a = -1 :
Substituindo a = -1 nas equações:
  1. x + y - (-1) z = x + y + z = 1
  2. (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 , então a segunda equação fica 0z = 1 , que é impossível.
Mas isso significa que, para a = -1 , o sistema não tem solução. Portanto, não há valores de a que façam o sistema ter infinitas soluções.

Resposta

Não existem valores de a que tornam o sistema dado com infinitas soluções. Para todo valor de a , o sistema possui uma única solução ou nenhuma solução.

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