Seja A=[ccc3 & 0 & 2 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0].
(a) Determine os autovalores e os autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada A = 3 & 0 & 2 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 e o desafio é encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante da matriz A - lambda I e depois resolver a equação característica para achar os autovalores. Depois disso, com cada autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, usamos a seguinte fórmula:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A e lambda representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 3 - lambda & 0 & 2 0 & 1 - lambda & 0 -1 & 0 & -lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 0 & -lambda - 0 + 2 cdot det 0 & 1 - lambda -1 & 0
Calculando os determinantes menores:
det 1 - lambda & 0 0 & -lambda = (1 - lambda)(-lambda) = -lambda(1 - lambda)
det 0 & 1 - lambda -1 & 0 = (0)(0) - (1 - lambda)(-1) = 1 - lambda
Então:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-lambda(1 - lambda)) + 2(1 - lambda)
Simplificando:
det(A - lambda I) = -lambda(3 - lambda)(1 - lambda) + 2(1 - lambda)
det(A - lambda I) = -lambda(3 - lambda)(1 - lambda) + 2(1 - lambda)
Fatorando (1 - lambda) :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-lambda(3 - lambda) + 2)
Distribuindo dentro do parêntese:
-lambda(3 - lambda) + 2 = -3lambda + lambda^2 + 2
Organizando:
lambda^2 - 3lambda + 2
Portanto:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2)

Passo 4

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2) = 0
Resolvendo cada fator:
  1. 1 - lambda = 0 lambda = 1
  2. lambda^2 - 3lambda + 2 = 0
Para a segunda equação, resolvemos a equação quadrática:
lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
O que dá:
lambda1 = 3 + 12 = 2
lambda2 = 3 - 12 = 1
Observamos que lambda = 1 aparece duas vezes, mas para efeito de autovalores distintos, consideramos apenas uma vez.
Então, os autovalores são:
lambda1 = 1 e lambda2 = 2

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor , resolvemos a equação:
Onde é o autovetor associado.
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando:
  1. → mesma coisa
Podemos atribuir , então:
Isso indica que há uma infinidade de autovetores para , formando um espaço vetorial.
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando:
  1. → mesma coisa do 1º
Atribuindo :
Então, o autovetor para é:
]

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = 1 e lambda2 = 2 .
Os autovetores correspondentes são:
  • Para lambda = 1 :
v = t -1 0 1 + s 0 1 0 , t, s in R
  • Para lambda = 2 :
v = t -2 0 1 , t in R

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