Considere o sistema linear
Determine os valores de a para que o sistema tenha:
(c) nenhuma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas: x, y e z. O objetivo é descobrir para quais valores de a esse sistema não tem solução. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema e ver se ele é consistente ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial para facilitar. As equações são:
x + y - a z = 1 2x + 2y + (a^2+1) z = 3 x + (a+1) y + 2 z = 3
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada do sistema, incluindo os resultados à direita das igualdades:
Nosso próximo passo é usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples. Vamos eliminar a primeira coluna das segunda e terceira linhas.
Para a segunda linha: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
2x + 2y + (a^2+1)z - 2(x + y - a z) = 3 - 2(1)
0x + 0y + (a^2 +1 + 2a)z = 1
(a^2 + 2a +1)z = 1
Note que a^2 + 2a +1 = (a+1)^2.
Para a terceira linha: Subtraímos a primeira linha da terceira:
Agora, observamos que na segunda linha temos 0x + 0y + (a+1)^2 z = 1. Isso significa que:
(a+1)^2 z = 1
Para que o sistema não tenha solução, essa equação deve ser inconsistente. Ou seja, precisamos que (a+1)^2 = 0 mas o lado direito seja diferente de zero. Vamos ver:
(a+1)^2 = 0 implies a = -1
Mas se a = -1, a equação vira 0 cdot z = 1, o que é impossível. Portanto, para a = -1, o sistema não tem solução.
Resposta
Os valores de a que fazem o sistema não ter solução são: