Considere o sistema linear homogêneo dado por \left[\begin{array}{ccc}\lambda & 3 & 1 \\\\ 0 & \lambda-1 & 0 \\\\ -4 & 3 & \lambda-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]
a) Determine os valores de \lambda \in \Re para que o sistema linear seja possível e indeterminado
b) Encontre o conjunto de todas as soluções do sistema linear do item (a)
e pede:
– (a) os valores de \lambda\in\mathbb{R} que tornam o sistema possível e indeterminado (isto é, não trivial),
– (b) o conjunto de todas as soluções para esses \lambda.
Para (a) vamos usar o fato de que em sistemas homogêneos a existência de solução não trivial equivale a \det(A)=0.
Igualamos a zero para achar os \lambda que anulam o determinante:
\lambda^3-3\lambda^2+6\lambda-4=0.
Testando \lambda=1 vemos
1-3+6-4=0,
logo \lambda=1 é raiz. A divisão por \lambda-1 deixa o polinômio quadrático \lambda^2-2\lambda+4, que não tem raízes reais (discriminante -12).
Portanto, o único valor real que torna \det(A)=0 é \lambda=1.
Passo 4
Para \lambda=1\), a matriz fica
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -4 & 3 & -1 \end{pmatrix}