Considere o sistema linear homogêneo dado por \left[\begin{array}{ccc}\lambda & 3 & 1 \\\\ 0 & \lambda-1 & 0 \\\\ -4 & 3 & \lambda-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]
a) Determine os valores de \lambda \in \Re para que o sistema linear seja possível e indeterminado
b) Encontre o conjunto de todas as soluções do sistema linear do item (a)

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{pmatrix} \lambda & 3 & 1\\\\ 0 & \lambda-1 & 0\\\\ -4 & 3 & \lambda-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
e pede:
– (a) os valores de \lambda\in\mathbb{R} que tornam o sistema possível e indeterminado (isto é, não trivial),
– (b) o conjunto de todas as soluções para esses \lambda.
Para (a) vamos usar o fato de que em sistemas homogêneos a existência de solução não trivial equivale a \det(A)=0.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} \lambda & 3 & 1\\\\ 0 & \lambda-1 & 0\\\\ -4 & 3 & \lambda-2 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(A) =\lambda\bigl((\lambda-1)(\lambda-2)-0\cdot3\bigr) -3\bigl(0\cdot(\lambda-2)-0\cdot(-4)\bigr) +1\bigl(0\cdot3-(\lambda-1)(-4)\bigr).
Isso dá
\det(A) =\lambda\bigl(\lambda^2-3\lambda+2\bigr) +4(\lambda-1) =\lambda^3-3\lambda^2+2\lambda+4\lambda-4 =\lambda^3-3\lambda^2+6\lambda-4.

Passo 3

Igualamos a zero para achar os \lambda que anulam o determinante:
\lambda^3-3\lambda^2+6\lambda-4=0.
Testando \lambda=1 vemos
1-3+6-4=0,
logo \lambda=1 é raiz. A divisão por \lambda-1 deixa o polinômio quadrático \lambda^2-2\lambda+4, que não tem raízes reais (discriminante -12).
Portanto, o único valor real que torna \det(A)=0 é \lambda=1.

Passo 4

Para \lambda=1\), a matriz fica \[A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -4 & 3 & -1 \end{pmatrix}
e o sistema é
\begin{cases} x+3y+z=0,\\\\ 0=0,\\\\ -4x+3y-z=0. \end{cases}
Da primeira equação vem
x=-3y-z.
Substituindo na terceira:
-4(-3y-z)+3y-z=0 \implies 12y+4z+3y-z=0 \implies 15y+3z=0 \implies z=-5y.
Logo
x=-3y-(-5y)=2y.
Seja t=y\] livre em \(\mathbb{R}. Então
(x,y,z)=(2t,\;t,\;-5t)=t\,(2,1,-5).

Resposta

(a) \lambda=1.
(b) O conjunto de soluções é
\{\,t\,(2,1,-5)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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