Prove as afirmações verdadeiras e, quando falsa, dê um contra-exemplo.
Para toda matriz A quadrada tem-se que
Para toda matriz A quadrada tem-se que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz quadrada
, vale
O conteúdo que vamos usar são duas propriedades clássicas da transposição:
-
, para matrizes e de dimensões compatíveis. -
, para qualquer matriz .
Passo 2
Aplique a propriedade de transposição de produto com
e
. Assim,
Passo 3
Agora use a propriedade de transposta dupla em
:
Substituindo na expressão anterior, obtém-se
Resposta
ou seja,
é sempre simétrica.