Prove as afirmações verdadeiras e, quando falsa, dê um contra-exemplo.
Para toda matriz A quadrada tem-se que \left(A^{T} A\right)^{T}=A^{T} A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz quadrada A, vale
(A^T A)^T \;=\; A^T A.
O conteúdo que vamos usar são duas propriedades clássicas da transposição:
  1. \,(MN)^T = N^T M^T, para matrizes M e N de dimensões compatíveis.
  2. \,(X^T)^T = X, para qualquer matriz X.

Passo 2

Aplique a propriedade de transposição de produto com M = A^T e N = A. Assim,
(A^T A)^T \;=\; A^T (A^T)^T.

Passo 3

Agora use a propriedade de transposta dupla em (A^T)^T:
(A^T)^T = A.
Substituindo na expressão anterior, obtém-se
A^T (A^T)^T \;=\; A^T A.

Resposta

(A^T A)^T = A^T A,
ou seja, A^T A é sempre simétrica.

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